Trekant med hele sider og vinkler

[espen180]

Theorem: Det finnes ingen trekant med både heltallige sider og heltallige vinkler.

Finnes det et bevis for/mot dette?

[Charlatan]

Mot:

En likesidet trekant med side 1.

Hvis du mener radianer så kan du jo prøve å bruke at sin(1), cos(1) og tan(1) ikke er heltall.

[espen180]

Enn virkårlige trekanter? Det ver mest det jeg siktet til.

[Charlatan]

Hva snakker du om?

[espen180]

Virkårlige trekanter: trekanter sor ikke faller under verken av kategoriene likesidet, rettvinklet eller likebeint.

[Charlatan]

Theorem: Det finnes ingen trekant med både heltallige sider og heltallige vinkler.

En likesidet trekant med side 1 eksisterer. Teoremet er falskt.

[=)]

er det et teorem før man har bevist det uansett?

mener du i "vanlige (skole) gradevinkler" eller radianer?

[espen180]

Gradevinkler ja. Det var det jeg hadde i tankene.

[=)]

jeg trodde vilkårlig var fritt valgbart da?

[Solar Plexsus]

Espen 180 har rett i at det ikke finnes noen trekant som ikke er likesidet som har heltallige sider og vinkler (målt i grader).

Bevis: Anta at det finnes en slik trekant. Ettersom 1[tex]^{\circ}[/tex] tilsvarer [tex]\pi/180[/tex] radianer, må vinklene i trekanten være på formen [tex]n\pi/180[/tex], der [tex]n[/tex] er et naturlig tall.

Videre gir cosinussetningen at cosinus til alle tre vinklene i trekanten må være rasjonale tall ettersom trekantens sider er heltallige. Dessuten går det an å bevise at når både [tex]t[/tex] og [tex]cos(t\pi)[/tex] er rasjonale tall, må [tex]cos(t\pi) \in \{0, \, \pm1/2, \, \pm1\}.[/tex] Altså er en vinkel i denne trekanten enten 60[tex]^{\circ}[/tex], 90[tex]^{\circ}[/tex] eller 120[tex]^{\circ}[/tex]. Dette i kombinasjon med det faktum at vinkelsummen i en trekant er 180[tex]^{\circ}[/tex] impliserer at alle tre vinklene i trekanten er 60[tex]^{\circ}[/tex]. M.a.o. er trekanten likesidet. Denne motsigelsen fullfører beviset.