firkant i sirkel

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Ice
Cayley
Cayley
Innlegg: 79
Registrert: 13/01-2006 23:34
Sted: Trøndelag

En abeloppgave som jeg forleden dag snublet over, ga meg masse hodebry, og jeg måtte til slutt gi tapt.

Den handlet om en firkant som var innskrevet i en sirkel. Det var da gitt i fasiten at hvis man skulle løse oppgaven, måtte man vite at to vinkler motsatt ovenfor hverandre (hvis noen skjønner det) i en firkant innskrevet i en sirkel, vil ha vinkelsum lik 180 grader.

Har noen et bevis, eller kan peke til et slikt bevis for meg?
Èg er Islendingur :P
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Tegn opp en sirkel, og innskriv en firkant i denne. Prøv så å variere en av vinklene og se hva som skjer med de andre.

Husk at summen av alle vinklene må være 360 grader:)
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Det stemmer - i en syklisk firkant (en firkant som kan innskrives i en sirkel) vil motstående vinkler summe til 180 grader.

Hint til bevis:

Skiv inn firkanten i en sirkel. Trekk linjer fra senter av sirkelen til to motstående hjørner på firkanten. Kjenner du en sammenheng mellom sentervinklene og de interne vinklene som er dannet?
Ice
Cayley
Cayley
Innlegg: 79
Registrert: 13/01-2006 23:34
Sted: Trøndelag

daofeishi skrev:Det stemmer - i en syklisk firkant (en firkant som kan innskrives i en sirkel) vil motstående vinkler summe til 180 grader.

Hint til bevis:

Skiv inn firkanten i en sirkel. Trekk linjer fra senter av sirkelen til to motstående hjørner på firkanten. Kjenner du en sammenheng mellom sentervinklene og de interne vinklene som er dannet?
Ok. Tror jeg har det nå. Kaller firkanten ABCD. Kaller sentrum S. Trekker linjer fra henholdsvis B og D inn til sentrum. Den sentrale vinkelen BSD, kaller vi V, er dobbelt så stor som periferivinkelen A, og det samme gjelder for sentralvinkel DSB, som vi kaller U, som vil være dobbelt så stor som periferivinkel C.

Bilde
Thanks to ImageShack for Free Image Hosting

De to sentrale vinklene er til sammen 360 grader.

[tex]V + U = 360* [/tex]

[tex]2A + 2B = V + U[/tex]

Dette gir at
[tex]A + B = 180* [/tex]

Noen som vet hvordan jeg skriver grader,, i sånn tegn liksom ;) ?
Èg er Islendingur :P
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Stemmer! Godt jobba. Nå kan du jo prøve å bevise at implikasjonen gjelder andre veien og - at dersom to motstående vinkler summer til 180 grader, så er firkanten syklisk.

Gradetegn - Prøv å opphøye \circ:
[tex]90^\circ[/tex]
HypotenJuice

Vet dette er gammelt, men får opp diskusjonen selv nå 10 år etter og ønsker å rette opp i en potensiell misforståelse ang. motstående vinkle og daofeishis utfording, mulig spørsmålet er upresist, men parvise vinkler = 180 grader er ikke nødvendigvis syklisk. En drage har motstående vinkelpar der parene har 180 gader hver, men det er ikke en syklisk firkant.
Svar