matematikk.net

Lærer'n ga meg og en kopis en spesialoppgave i høstferien. Setter stor pris på all hjelp...

bevis at for x>0 er Ln x= ln 10* lg x

Her skal dere få litt generell hjelp.

Tenk dere at
[tex] m = \log _a (x) \\ n = \log _b (x)[/tex]

Da vet dere at [tex]x = a^m = b^n[/tex]

Dermed kan man skrive:
[tex]\log_b(x) = \log_b(a^m) = m\log_b(a)[/tex]

Herfra ser dere kanskje hvor dere kan fortsette?

tjaa... vi er ikke akkurat proffe på dette med bevis. Har tross alt bare touchet emnet. Vi går VG2 foresten, så om vi kunne få et litt enkelt hint til, kan vi se hva vi får til...

Skriv x på to måter:
[tex]e^{\ln(x)}=x=10^{\lg(x)}[/tex]
Dermed har du:
[tex]e^{\ln(x)}=10^{\lg(x)}[/tex]
Hva kan du gjøre nå, forsjempel?

Vel, da kan vi bare gjøre det litt mer spesifikt:

La
[tex] m = \ln x \\ n = \lg x[/tex]

Det betyr at [tex]x = e^m = 10^n[/tex]

Kan dere da se at:

[tex]\ln x = \ln 10^n = n \ln 10[/tex]

Og da er dere ikke langt fra å ha fullført beviset.

Dette er vel egentlig ikke verre enn å trikse litt med logaritmereglene?

[tex]\ln x = \ln 10 \cdot \lg x[/tex]

Potensregel:
[tex]\ln a \cdot b = \ln a^b[/tex]

[tex]a = 10[/tex], [tex]b = \lg x[/tex]

Vi får:
[tex]\ln x = \ln 10^{\lg x}[/tex]

Vi vet jo at [tex]10^{\lg x} = x[/tex]

[tex]\ln x = \ln x[/tex]