hva er resten til følgende sum delt på 4?
[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]
vis hva resten er
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hmmm...
Med resten mener du vel den delen som ikke går opp i 4? Altså, resten kan være 0, 0.25 eller 0.75
Jeg tolker det slik:
Det blir summen:
[tex]\sum_{i=1}^{100} i^5[/tex]
Ok, here's what I got:
Sett først opp alle partallene som èn del:
[tex](2^5+4^5+6^5+8^5+....+100^5)[/tex] Vi vet at alle disse er delelige på 4, fordi alle partall har en faktor 2, og 2^5 kan deles på 4.
Derfor kan vi se bort ifra partallene, de gir ingen rest.
Så var det oddetallene:
Vi deler de opp i par slik som dette:
[tex](1^5+3^5)+(5^5+7^5)+...+(97^5+99^5)[/tex]
Vi ser om et oddetallparet [tex](2k+1)^5 +(2k+3)^5[/tex] er delelig på 4:
[tex](2k+1)^5 ={5\choose 0}(2k)^5+{5\choose 1}(2k)^4+{5\choose 2}(2k)^3+{5\choose 3}(2k)^2+{5\choose 4}(2k)+{5\choose 5}[/tex]
[tex](2k+3)^5= {5\choose 0}(2k)^5+{5\choose 1}(2k)^4\cdot 3+{5\choose 2}(2k)^3\cdot 3^2+{5\choose 3}(2k)^2\cdot3^3+{5\choose 4}(2k)\cdot 3^4+{5\choose 5} 3^5[/tex]
Vi ser at vi kan se bort ifra de fire første leddene i hver eksansjon fordi de er delelige på 4 siden de består av en faktor 2 opphøyd i en eksponent høyere eller lik 2.
Når vi plusser sammen de resterende leddene som ikke går opp i 4 får vi:
[tex]({5\choose 4}(2k)+{5\choose 5})+({5\choose 4}(2k)\cdot 3^4+{5\choose 5} 3^5) = (10k+1)+(810k+243)=820k+244[/tex]
Vi ser at dette også er delelig på 4, derfor vil alle ledd i summen gi 0 i rest fordi alle oddetallparledd kan skrives på denne måten når k er et helt tall.
(Jeg vil ikke trekke noen bastante konklusjoner, men jeg tror dette skal være riktig)
Hvordan skriver man store paranteser?
Med resten mener du vel den delen som ikke går opp i 4? Altså, resten kan være 0, 0.25 eller 0.75
Jeg tolker det slik:
Det blir summen:
[tex]\sum_{i=1}^{100} i^5[/tex]
Ok, here's what I got:
Sett først opp alle partallene som èn del:
[tex](2^5+4^5+6^5+8^5+....+100^5)[/tex] Vi vet at alle disse er delelige på 4, fordi alle partall har en faktor 2, og 2^5 kan deles på 4.
Derfor kan vi se bort ifra partallene, de gir ingen rest.
Så var det oddetallene:
Vi deler de opp i par slik som dette:
[tex](1^5+3^5)+(5^5+7^5)+...+(97^5+99^5)[/tex]
Vi ser om et oddetallparet [tex](2k+1)^5 +(2k+3)^5[/tex] er delelig på 4:
[tex](2k+1)^5 ={5\choose 0}(2k)^5+{5\choose 1}(2k)^4+{5\choose 2}(2k)^3+{5\choose 3}(2k)^2+{5\choose 4}(2k)+{5\choose 5}[/tex]
[tex](2k+3)^5= {5\choose 0}(2k)^5+{5\choose 1}(2k)^4\cdot 3+{5\choose 2}(2k)^3\cdot 3^2+{5\choose 3}(2k)^2\cdot3^3+{5\choose 4}(2k)\cdot 3^4+{5\choose 5} 3^5[/tex]
Vi ser at vi kan se bort ifra de fire første leddene i hver eksansjon fordi de er delelige på 4 siden de består av en faktor 2 opphøyd i en eksponent høyere eller lik 2.
Når vi plusser sammen de resterende leddene som ikke går opp i 4 får vi:
[tex]({5\choose 4}(2k)+{5\choose 5})+({5\choose 4}(2k)\cdot 3^4+{5\choose 5} 3^5) = (10k+1)+(810k+243)=820k+244[/tex]
Vi ser at dette også er delelig på 4, derfor vil alle ledd i summen gi 0 i rest fordi alle oddetallparledd kan skrives på denne måten når k er et helt tall.
(Jeg vil ikke trekke noen bastante konklusjoner, men jeg tror dette skal være riktig)
Hvordan skriver man store paranteser?
En annen mulig løsning:kalleja skrev:hva er resten til følgende sum delt på 4?
[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]
[tex]\sum _{n=1} ^{100} n^5 \equiv 25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \equiv 1(1+0+3+0) \equiv 0 \pmo 4[/tex]
Så resten er 0.
Abel-konkurransen nærmer seg med stormskritt... heheHohoho, godt spørsmål. Magnus og jeg har snakket om den innføringen i over ett år nå. En god del er skrevet, en god del gjenstår. Jeg tror jeg vil dele heftet inn i to deler, en med grunnleggende prinsipper (divisbilitet, lineære diofantiske likninger, den Euklidiske algoritme...) og en del som tar for seg modulær aritmetikk. Jeg skal prøve å få ferdig første del om ikke alt for lenge (hva nå enn det betyr. Hvis jeg skynder litt på kan det bli om et par uker). Ikke vær redd for å sparke meg litt i rumpa av og til for å få fortgang i det.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Du kan kanskje kikke litt her, Eirik: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... lflind.pdf
Jeg har ikke brukt det, så kan ikke uttale meg videre om kvaliteten.
Jeg har ikke brukt det, så kan ikke uttale meg videre om kvaliteten.
kan du utdype hva du gjør herdaofeishi skrev:En annen mulig løsning:kalleja skrev:hva er resten til følgende sum delt på 4?
[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]
[tex]\sum _{n=1} ^{100} n^5 \equiv 25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \equiv 1(1+0+3+0) \equiv 0 \pmo 4[/tex]
Så resten er 0.
?Vi vet fra modulær aritmetikk at dersom [tex]a \equiv b \pmod m[/tex] og [tex]c \equiv d \pmod m[/tex] så gjelder at [tex]ac \equiv bd \pmod m[/tex]. Det følger direkte at dersom [tex]a \equiv b \pmod m[/tex] så vil [tex]a^5 \equiv b^5 \pmod m[/tex]kalleja skrev:kan du utdype hva du gjør herdaofeishi skrev:En annen mulig løsning:kalleja skrev:hva er resten til følgende sum delt på 4?
[tex] 1^5+2^5+3^5+...+99^5+100^5[/tex]
[tex]\sum _{n=1} ^{100} n^5 \equiv 25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \equiv 1(1+0+3+0) \equiv 0 \pmod 4[/tex]
Så resten er 0.
Siden det fra tallene 1 til 100 er 25 tall kongruente til 1 (mod 4), 25 tall kongruente til 2 (mod 4), 25 til 3 (mod 4) og 25 til 0 (mod 4), kan vi forenkle hele kongruensen til [tex]25(1^5 + 2^5 + 3^5 + 0^5) \pmod 4[/tex]