arctanx derivasjonsbevis

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Olorin
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Sted: Trondheim
Kontakt:

Enkelt bevis:

Vis at funksjonen [tex]y=arctan x[/tex] deriveres til følgende:

[tex]y^\prime=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Olorin skrev:Enkelt bevis:
Vis at funksjonen [tex]y=arctan x[/tex] deriveres til følgende:
[tex]y^\prime=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
[tex]y=\arctan(x)[/tex]

[tex]\tan(y)=x[/tex]

deriverer implisitt

[tex](1+\tan^2(y))\cdot y^,=1[/tex]

[tex]y^,=\frac{1}{1+\tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Olorin
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Sted: Trondheim
Kontakt:

Førte den likedan som deg Jan.

Men kan du bevise den ved å utnytte at tany = siny/cosy ? eller at (tany)' = 1/(cosy)^2 ?
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Olorin skrev:Førte den likedan som deg Jan.
Men kan du bevise den ved å utnytte at tany = siny/cosy ? eller at (tany)' = 1/(cosy)^2 ?
Gitt y = arctan(x)

Altså sistnevnte er jo på samma måte;

[tex]\tan(y)=x[/tex]

implisitt derivasjon:

[tex]\frac{1}{\cos^2(y)}\cdot y^,=1[/tex]

[tex]y^,=\cos^2(y)=[\cos(\arctan(x))]^2[/tex]

der [tex]\;\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
(pga Pytagoras)

[tex]y^,=\frac{1}{1+x^2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Generelt:

[tex]y = f^{-1} (x)[/tex]

[tex]f(y) = x[/tex]

[tex]f^\prime (y) \cdot y^\prime = 1[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{f^\prime (y)}[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{f^\prime (f^{-1}(x))}[/tex]

F.eks:

[tex]f(x) = e^x[/tex]

[tex]y = \ln (x) = f^{-1}(x)[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{e^{\ln (x)}} = \frac{1}{x}[/tex]

----------

[tex]f(x) = \sin (x)[/tex]

[tex]y = \arcsin (x)[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{\cos (\arcsin (x))} = \frac{1}{\cos (\arccos (\sqrt{1-x^2})} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]
Olorin
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Sted: Trondheim
Kontakt:

Takk for fine svar :)
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Svar