Realist1s Metode (Ny læresetning)

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Realist1
Euclid
Euclid
Innlegg: 1993
Registrert: 30/01-2007 20:39

[tex]a^2 = (a-1) \cdot (a+1) + 1[/tex]

Trenger du bevis? Prøv med et hvilket som helst tall for a.

Takk for alle credits. Tenker på patent.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Lett å bevise, siden [tex](a-1)(a+1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1[/tex].

(Det er forøvrig ikke noe bevis å bare prøve med forskjellige tall for a. I matematikken er et bevis håndfast, man kan ikke si at noe gjelder for alle tilfeller siden det gjelder for noen tilfeller.)
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=188

3. kvadratsetning, ): konjugatsetninga:

(a + 1)(a - 1) = a(a - 1) + 1(a -1) = a[sup]2[/sup] - a + a - 1
dvs.
a[sup]2[/sup] = 1 + (a + 1)(a - 1)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Jeg har funnet et polynom som genererer primtall!
[tex]p(x) = x^2 + x + 41[/tex]
Trenger du bevis? Bare prøv med forskjellige tall for x!


Som du kanskje ser trengs det litt mer enn særtilfeller for å bevise en matematisk proposisjon. Polynomet genererer faktisk primtall for alle x fra 0 til 40, men deretter er det stopp. :)

(Polynomet er etter Euler)

Fint observert. Dette er ikke vanskelig å bevise - som du ser over. Og jeg er virkelig glad for at matematikk ikke kan patenteres. Det hadde ikke gagnet den personlige økonomien om jeg måtte ha betalt royalties hver gang jeg brukte papirmultiplikasjon eller den euklidiske algoritme
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Stilig polynom det der. Gir faktisk primtall fra -40 til 39 og også veldig ofte sammenligna med andre "tilfeldige" polynomer på andre intervaller.

Et annet i samme gata: x^2-79x+1601 gir prim for x=0,...,79.

En oppgave til den interesserte: Vis at det ikke finnes noe ikke-konstant polynom som kun gir primtall når vi putter inn heltall.
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Ingen som tar oppgaven til mrcreosote her? Er fin for de som er færske i bevisføring.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Ahh, endelig tilbake etter 3 uker på Bali. Klar for høsten.

Er den fin for ferskinger? Få se en enkel måte å løse den på da :-) Har bl.a. lest en som brukte kongruensregning, men jeg kan ikke om det.

Her er min versjon: (Og jeg må innrømme at jeg ikke har kommet på dette selv, men lest det på nett)

Påstand: Det eksisterer ikke noe ikke-konstant polynom slik at [tex]f(x) \in {\mathbb P}[/tex] for alle [tex]x \in {\mathbb Z}[/tex].

Det vi skal gjøre for å bevise påstanden, er å vise at for alle polynomer er f(f(0)) delelig med f(0). Av dette følger det at det ikke kan finnes noe ikke-konstant polynom som kun gir primtall når vi putter inn heltall. En mulighet kunne vært at f(0) var lik 1, men da ville ikke f(0) være et primtall, og funksjonen oppfyller ikke kravene.

Vi definerer et polynom P(x) av grad n:

[tex]P(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + ... + c_1x + c_0 = \sum_{i=0}^n c_ix^i = c_0 + \sum_{i=1}^n c_ix^i[/tex]

[tex]P(c_0) = c_0 + \sum_{i=1}^n c_i(c_0)^i = c_0 + \sum_{i=0}^{n-1} c_0 \cdot c_i(c_0)^i = c_0 \left ( 1 + \sum_{i=0}^{n-1}c_i(c_0)^i \right )[/tex]

Vi ser at [tex]P(c_0)[/tex] er delelig med [tex]c_0[/tex]. Dette fullfører beviset.

Men det beviset ikke dekker, er muligheten at P(x) gir primtall for alle naturlige x, hele tall fra 1 og oppover.
Svar