matematikk.net

Hvorfor finner vi volum av kule (og kjegle, pyramide) ved å dele på 3? Kan noen "bevisføre" dette for meg?

En kule med radius [tex]r[/tex] kommer fram ved å rotere grafen til en halvsirkel gitt ved funksjonen:

[tex]f(x) = \sqrt{r^2 - x^2} \ \ der \ \ x \in \[-r,r\][/tex]

rundt [tex]x[/tex]-aksen.

Volumet blir da:

[tex]V = \pi \int_{-r}^r (f(x))^2 dx = \pi \int_{-r}^r (\sqrt{r^2 - x^2})^2 dx = \pi \int_{-r}^r (r^2 - x^2) dx = \[r^2x - \frac13 x^3 \]_{-r}^r[/tex]

[tex]V = (r^2r - \frac13 r^3) - (r^2(-r) - \frac13 (-r)^3) = (r^3 - \frac13 r^3) - (-r^3 + \frac13 r^3) = \frac23r^3 + \frac23r^3 = \frac{4 \pi r^3}{3}[/tex]

Dersom du tegner et vertikalt snitt gjennom en kjegle (og gjennom sentrum i bunnen) slik at snittet ser ut som en likesidet trekant og legger sentrum i punktet (x, h) i et koordinatsystem, ser du at lengden av "sidekanten" følger funksjonen:

[tex]f(x) = \frac{r}{h}x[/tex]

Volumet av omdreiningslegemet blir:

[tex]V = \pi \int_{0}^{h} (\frac{r}{h}x)^2 dx = \pi \int_{0}^{h} \frac{r^2}{h^2}x^2 dx = \pi \[ \frac{r^2}{3h^2}x^3 \]_0^h = \pi ((\frac{r^2}{3h^2}h^3) - (\frac{r^2}{3h^2}0^3))[/tex]

[tex]V = \frac{\pi r^2 h }{3}[/tex]