Areal

[sEirik]

Et parabelsegment er gitt ved tre punkter A, B og C, der A og B er endepunktene på parabelsegmentet og C er et punkt på segmentet. Vis at arealet avgrenset av parabelsegmentet og linja AB er lik 4/3 av arealet av trekanten ABC.

[mrcreosote]

Holder dette?

Velg (-1,1) og (1,1) på kurva y=x^2 som endepunkter og et tredje punkt (x,x^2) ikke lik (0,0) som også ligger på samme parabel. Da er arealet segmentet og linja gjennom de to første punkter begrenser 4/3, mens trekantens areal er 1-x.

[Janhaa]

En generalisert sleipeløsning er å bruke f.eks. parabelen
y = - x[sup]2[/sup] + 4, og plassere den i origo. Grunnflate AB er 4 og
høyden 4.
Da blir Areal(parabel) ifølge ARkimedes, [tex]A(parabel)={2\over 3}\cdot 4^2={32\over 3}[/tex]

[tex]A(trekant)\,=\,{1\over 2}\cdot 4^2\,=\,8[/tex]

[tex]\frac{A(parabel)}{A(trekant)}\,=\,\frac{{32\over 3}}{8}\,=\,{4\over 3}[/tex]

Dette brukte jeg 5 min på. Kan selvfølgelig regne ut parabelarealet vha integrasjon. Tror det finnes flere "skikkelige" måter å vise nevnte forhold på.

[sEirik]

Holder dette?

Velg (-1,1) og (1,1) på kurva y=x^2 som endepunkter og et tredje punkt (x,x^2) ikke lik (0,0) som også ligger på samme parabel. Da er arealet segmentet og linja gjennom de to første punkter begrenser 4/3, mens trekantens areal er 1-x.

Men du har antatt at endepunktene ligger i samme "høyde over spissen" av parabelen. Resultatet skal gjelde uansett om det ene endepunktet ligger "over" det andre eller ikke.

Slik jeg ser det har vel Janhaa vist ett spesialtilfelle; når vi har punktene A(-2 , 0) B(0 , 4) og C(2 , 0).
Husk at resultatet må gjelde for nesten alle punkter A, B, C

[mrcreosote]

Uttrykte jeg meg så uklart? Jeg påstår altså at det ikke holder.

Velg A=(-1,1), B=(1,1) og C=(1/2,1/4). Disse ligger på parabelen y=x^2. Arealet av trekant ABC er 1/2, arealet av avgrensninga av AB og parabelen er 4/3.

[sEirik]

Kan du vise at beviset ditt gjelder også for A = (-1,1) B = (2,4) C = (1/2, 1/4)?

[mrcreosote]

Trenger jeg det?

Vi har 3 punkter som gir parabelen y=x^2, men disse oppfyller ikke det du påstår. Hvor misforstår jeg?

[ingentingg]

Eg har kanskje misforstått oppgaven, men mener du at gitt to pkt A og B på en parabel så vil alle trekanter som har siste hjørnet C på samme parabel ha samme areal?

[sEirik]

Hmm, er vel noe som skurrer her - aha, det som påstås holder kanskje ikke! (treige hodet mitt i dag...) Hehe. Var bare jeg som misforstod, trodde "Holder dette?" skulle bety noe sånt som "var beviset mitt godt nok?", da men jeg skjønte jo selvfølgelig ikke hvordan det du hadde skrevet kunne bevise påstanden, siden det ikke en gang var et bevis, men tvert i mot et moteskempel, men det hadde ikke jeg oppfatta. Men nå er vel nesten alle misforståelser oppklart.

Glemte nok å nevne at C skal være midtpunktet mellom A og B Da ble påstanden noe ganske annerledes.

[mattematikklover]

hei alle sammen, hvordan står det til?

[mattematikklover]

[quote="sEirik"]Hmm, er vel noe som skurrer her - aha, det som påstås holder kanskje ikke! (treige hodet mitt i dag...) Hehe. Var bare jeg som misforstod, trodde "Holder dette?" skulle bety noe sånt som "var beviset mitt godt nok?", da men jeg skjønte jo selvfølgelig ikke hvordan det du hadde skrevet kunne bevise påstanden, siden det ikke en gang var et bevis, men tvert i mot et moteskempel, men det hadde ikke jeg oppfatta. Men nå er vel nesten alle misforståelser oppklart.

Glemte nok å nevne at C skal være midtpunktet mellom A og B Da ble påstanden noe ganske annerledes.[/quote]

oi....hvordan kunne du glemme det!?

[sEirik]