Bevis formel for sin 3v

[Wentworth]

Hvor kan man lære denne utledningen du kom med Janhaa? Da tenker jeg på konkret hvordan man bruker formelen, setter pris på hjelpen.Ble faktisk fantasert av im tegnet der

[Janhaa]

Hvor kan man lære denne utledningen du kom med Janhaa? Da tenker jeg på konkret hvordan man bruker formelen, setter pris på hjelpen.Ble faktisk fantasert av im tegnet der

OK, Mr Wentworth, du har vært flink gutt i dag. Grattis med firesifra ant innlegg også.
Skal ta dette omstendelig for deg:
de Moivre formel'n forteller at:

[tex](\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)[/tex]

Vi vil finne sin(3x) og benytter relasjonen over.
Forøvrig veit vi
[tex]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/tex]

og i oppgava her
[tex]e^{i3x}=\cos(3x)+i\sin(3x)=(cos(x)+i\sin(x))^3[/tex]
(altså de Moivres formel)

høyre sida bruker vi Pascals trekant på:

[tex]e^{3ix}=\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)+3i^2\cos(x)\sin^2(x)+i^3\sin^3(x)[/tex]

[tex]e^{3ix}=\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x)[/tex]

nå er vi bare interessert i sin(3x), dvs den imaginære delen av det komplekse tallet:

[tex]\Im e^{3ix}=\Im (\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x))[/tex]
bare ta med leddene over som inneholder i = [symbol:rot](-1)
[tex]\Im e^{3ix}=\sin(3x)=3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)[/tex]

resten er greit vha sin[sup]2[/sup](x) + cos[sup]2[/sup](x) = 1

[tex]\Im e^{i3x}=\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)[/tex]
-----------------------------------------------

Prøv denne metoden på cos(3x), og uttrykk denne bare ved cosinus

[Wentworth]

hehe, ja etter hjelp fra de godeste her og med 17 endringer greide jeg visst den hehe,takk for denne janhaa , nå skal jeg virkelig sette meg i det.

[flush_bingo]

sin3v
=sin(v+2v)
=sinv cos2v + cosv sin2v
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + cosv 2sinv cosv
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv cos[sup]2[/sup]v
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv (cos2v+sin[sup]2[/sup]v)
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv (1-2sin[sup]2[/sup]v+sin[sup]2[/sup]v)
=sinv-2sin[sup]3[/sup]v+2sinv-4sin[sup]3[/sup]+2sin[sup]3[/sup]v
=3sinv-4sin[sup]3[/sup]v

Der er den enkleste framgangsmåten, hvis man kun har oversikt over de forskjellige sinus og cosinussetningene