OPPGAVE
I denne oppgaven skal man komme fram til at dersom [tex]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/tex] er begrenset, så er funksjonene
[tex]G(x) = \overline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] og [tex]H(x) = \underline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] kontinuerlige.
A) Anta at [tex]|f(x)|\le M[/tex] for alle [tex]x \in [a,b][/tex]. Vis at for alle [tex]x_{1},x_{2}\in [a,b][/tex] er [tex]|G(x_1) - G(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex] og [tex]|H(x_1) - H(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex].
B) Bruk (A) og definisjonen av kontinuitet til å vise at [tex]G[/tex] og [tex]H[/tex] er kontinuerlige på [tex][a,b][/tex].
------------
A) Antar først at [tex]a \le x_2 \le x_1[/tex]. Da vet jeg fra setning 8.3.1 (i Kalkulus) at
[tex]\overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt + \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt \Leftrightarrow \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt - \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt[/tex].
Det samme gjelder også for de nedre integralene, så dette betyr at
[tex]|G(x_1)-G(x_2)|=|\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex]
og
[tex]|H(x_1)-H(x_2)| = |\underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex].
Vet at hvis jeg velger [tex]f(x)=M[/tex], får jeg det største "arealet" i [tex][x_{2},x_{1}][/tex] som oppfyller [tex]|f(x)|\le M[/tex]. Siden [tex]f[/tex] er konstant må følgende gjelde:
[tex]\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt[/tex].
Da står det igjen å vise
[tex]|\int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt|=|\int_{x_2}^{x_{1}}Mdt|=|{[Mt]}_{x_2}^{x_1}|=|Mx_{1} - Mx_{2}|=|M||x_{1} - x_{2}| \le M|x_{1} - x_{2}|[/tex].
--------
På den aller siste delen er jeg litt usikker på om jeg kan anta at M er positiv
Uansett, er det noe som er helt feil i bevisforsøket mitt?(Oppgave B) har jeg ikke begynt på...)
