Forstår ikke en induksjonsoppgave

[BMB]

Har sett litt på induksjon, og satt meg fast her:

Prove each of the following by Mathematical Induction.

1. For all positive integers n, [tex]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n)(n+1)(2n+1)/6[/tex].

2. Define a sequence [tex]a_0[/tex], [tex]a_1[/tex], [tex]a_2 [/tex] by the recurrsive formula [tex]a_{n+1} = 2a_n [/tex]- [tex]{a_n}^2[/tex]. Then, a closed form formula for [tex]a_n[/tex] is [tex]a_n = 1 - (1 - a_0)^2^n[/tex] for all n = 0, 1, 2, ....

Nr. 1 var jo ganske lett, men problemet er at jeg ikke forstår hva i huleste jeg skal gjøre på nr. 2...

Hva mener de med "define a sequence", "recurrsive formula" og "closed form formula"?

Hadde vært takknemlig for litt hjelp

[Mari89]

"recurrsive formula"=rekursiv formel
Vet ikke om det sa deg noe?

[BMB]

Ja, det var et dumt spørsmå av meg; det kan jeg jo lese selv. Men du traff ikke akkurat spikern på hodet.

Kanskje jeg skal begynne slik (?):

[tex]a_n = 1 - (1 - a_0)^2^n [/tex]

[tex]a_0 = 1 - (1 - a_0)=1-1+a_0=a_0[/tex]

Så kan jeg si at det stemmer for en k i mengden {0,1,2...}. Så gjenstår bare å bevise at det stemmer for k+1?

Hvis det er rett så langt, kan noen peke meg videre i riktig retning? På forhånd takk.

[Magnus]

Du får oppgitt at [tex]a_{n+1} = 2a_n - a_n^2[/tex], da sies det at lukket form for [tex]a_n[/tex] er på formen [tex]1 - (1-a_0)^{2^n}[/tex]

Du har testet n=0 som stemmer.


Så antar vi at [tex]a_k = 1 - (1-a_0)^{2^k}[/tex], og skal nå finne ut om [tex]a_{k+1}[/tex] er sann.

Vi har at [tex]a_{k+1} = 2a_k - a_k^2 = 2(1 - (1-a_0)^{2^k}) - (1 - (1-a_0)^{2^k})^2[/tex]

[tex]= (1 - (1-a_0)^{2^k})(2 - (1 - (1-a_0)^{2^k})) = (1 - (1-a_0)^{2^k})(1+(1-a_0)^2^k)[/tex]

Konjugatsetningen gir da ønsket resultalt.

[BMB]

Takk for hjelpa; skjønner nå.

Kan fullføre det bare for syns skyld:

Vi har altså kommet fram til at

[tex]a_{k+1}=(1-(1-a_0)^{2^k}(1+(1-a_0)^{2^k}=1-((1-a_0)^{2^k})^2=1-(1-a_0)^{2 \cdot 2^k}=1-(1-a_0)^{2^{k+1}}[/tex]

q.e.d.