[tex]a_n \rightarrow a[/tex] og [tex]a_n \rightarrow b[/tex] når
[tex]n \rightarrow \infty[/tex], så er a = b. Dette bevises ganske enkelt med en selvmotsigelse.
En av oppgavene er derimot å komme med et alternativt bevis for dette. De enkelte leddene er stykket opp, og så skal man utlede det nye beviset fra de enkelte resultatene.
a) Vis at hvis
[tex]|a-b| < \epsilon[/tex] for alle [tex]\epsilon > 0[/tex], så er [tex]a = b[/tex]
Ok. Jeg er særdeles uerfaren med slik bevisføring og jeg står helt dønn fast på denne. Vil ikke egentlig setningen vise seg selv?
Hvis vi har [tex]|a-b| < \epsilon[/tex] for alle epsilon [tex]\Rightarrow a = b[/tex]
Uansett hvor liten differensen er, kan vi bare velge en epsilon som er mindre. Følgelig må a være lik b.
Er det virkelig så rett frem?
(Visste ikke om jeg skulle legge denne inne under høyskole eller bevis. Men la den her, siden det er et bevis
).=============================
Kom på en alternativ måte som kanskje er litt bedre (selv om jeg fortsatt tror den første holder).
Vi antar at
[tex]a \not= b[/tex]
Da vil vi ha en gyldig epsilon hvis vi setter:
[tex]\epsilon = \frac{|a-b|}{2} > 0[/tex]
Men dette gir oss en selvmotsigelse når
[tex]|a-b| < \epsilon = \frac{|a-b|}{2}[/tex]
derfor kan ikke a [symbol:ikke_lik] b!
