Volum av ei kule vha kulekoordinater

[Janhaa]

Vi har utleda volumet av ei kule på "gamle måten" noen ganger her inne. Den er, f. eks., basert på halvsirkelen som roteres om x-aksen. Finnes også andre utledninger som har kommi meg for øyet. Bl. a et av Arkimedes - som var genialt.

Imidlertid kan dette også bevises vha kulekoordinater, [tex]\;(\rho,\, \theta,\, \phi)[/tex]
der

[tex]\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{r^2+z^2}[/tex]

[tex]\theta=\arctan(\frac{y}{x})[/tex]

[tex]\phi=\arctan(\frac{r}{z})[/tex]

-----------------------------------------------------------------------------

[tex]V=8\int_0^{\pi/2}\,\int_0^{\pi/2}\,\int_0^r\,\rho^2\sin(\phi)\text d\rho\,d\theta\,d\phi[/tex]

[tex]V={8\over 3}\int_0^{\pi/2}\,\int_0^{\pi/2}\,\rho^3\sin(\phi)|_0^r \text \,d\theta\,d\phi[/tex]

[tex]V=({8r^3\over 3})\cdot({\pi\over 2})\,\int_0^{\pi/2}\,\sin(\phi)\text \,d\phi[/tex]

[tex]V=-{4\over 3}\pi r^3 [\cos(\phi)]_0^{\pi\over 2}[/tex]

[tex]V={4\over 3}\pi r^3[/tex]

-----------------------------------------------------

EDIT, trøbbel med PC

[Magnus]

Du kan jo forklare for forsamlingen hvorfor du ganger med 8.

[sEirik]

La meg tippe: De integralgreiene (som jeg forøvrig ikke aner hva betyr) gir sikkert volumet for én av de 8 delene en kan tenke seg at en kule kan deles opp i, hvis en deler kulen ved å sette den i sentrum av et kvadrat med sidelengde 2r, som da kan deles opp i 8 kvadrater med side r.

[Markonan]

Det skal være riktig det. [symbol:pi] /2 er jo 90 grader, og vi beregner bare volumet til kulen i første oktant; dvs en åttendedel av kulen.

Edit *kremt* Captain Obvious to the rescue.