Vi lærer på vgs at e er det irrasjonale tallet som er slik at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex].
Men hvordan kan man egentlig være sikker på at det eksisterer et slikt tall? Og hvordan kan man ut fra det utlede en sum eller en grenseverdi som gir verdien av e?
Og så var det eulers tall da...
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Prøver meg selv først.
Hvis det eksisterer et slikt tall e, så må
(1) [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex]
[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}[/tex]
[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]
Hmm, da setter vi inn i (1) og får
[tex]e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]
Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex]. Altså er
[tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Altså er
[tex]e^x = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Siden [tex]e^x > 0[/tex] kan vi dele.
[tex]1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Der stopper det altså. Har ikke blitt noe klokere, men har i hvert fall funnet frem til en grenseverdi da!
Hvis det eksisterer et slikt tall e, så må
(1) [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex]
[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}[/tex]
[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]
Hmm, da setter vi inn i (1) og får
[tex]e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]
Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex]. Altså er
[tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Altså er
[tex]e^x = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Siden [tex]e^x > 0[/tex] kan vi dele.
[tex]1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Der stopper det altså. Har ikke blitt noe klokere, men har i hvert fall funnet frem til en grenseverdi da!
Gitt, si, induktiv definisjon av positive heltallspotenser,
definer funksjonen:
[tex]Exp(x)=1+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}[/tex]
Du kan vise masse festlige ting om denne funksjonen, som at den er absolutt konvergent for alle x, at den er invertibel med invers Ln(x), samt leddvis deriverbar, med derivert lik seg selv.
Videre kan vi definere, for a>0, den generelle exponentialfunksjon ved
[tex]a^{x}\equiv{E}(xLn(a))[/tex]
Siden Exp(x) er konvergent for alle x, er den spesielt konvergent for x=1, og vi definerer e=Exp(1).
Dermed får vi, pr. definisjon at:
[tex]e^{x}=Exp(x*Ln(e))=Exp(x)[/tex], og e^x har dermed seg selv som derivert fordi Exp(x) har det..
definer funksjonen:
[tex]Exp(x)=1+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}[/tex]
Du kan vise masse festlige ting om denne funksjonen, som at den er absolutt konvergent for alle x, at den er invertibel med invers Ln(x), samt leddvis deriverbar, med derivert lik seg selv.
Videre kan vi definere, for a>0, den generelle exponentialfunksjon ved
[tex]a^{x}\equiv{E}(xLn(a))[/tex]
Siden Exp(x) er konvergent for alle x, er den spesielt konvergent for x=1, og vi definerer e=Exp(1).
Dermed får vi, pr. definisjon at:
[tex]e^{x}=Exp(x*Ln(e))=Exp(x)[/tex], og e^x har dermed seg selv som derivert fordi Exp(x) har det..
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Her må du være forsiktig. Det gjelder kun når A er en konstant.. Viss ikke hadde jo den deriverte av et produkt, vært produktet av de deriverte.sEirik skrev: Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex].
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Skal vi se om vi klarer å komme oss til en av de vanlige grenseverdiene man bruker for å definere e.
Begynner med sEiriks siste grenseverdi,
[tex]\displaystyle 1 = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{e^h-1}{h}[/tex]
men med den modifikasjonen at vi ser bort fra grenseverdien og erstatter e med a(h). Får da
[tex]\frac{(a(h))^h-1}{h}=1[/tex]
Denne definerer (implisitt) en funksjon a(h). e vil være gitt av grenseverdien
[tex]\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = e[/tex]
Ok, finner nå a(h) eksplisitt:
[tex](a(h))^h = 1+h[/tex]
[tex]a(h) = (1+h)^{\frac 1h}[/tex]
Tar grenseverdien:
[tex]e = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 }(1+h)^{\frac 1h}[/tex]
Som er en av tekstbokdefinisjonene på e.
Begynner med sEiriks siste grenseverdi,
[tex]\displaystyle 1 = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{e^h-1}{h}[/tex]
men med den modifikasjonen at vi ser bort fra grenseverdien og erstatter e med a(h). Får da
[tex]\frac{(a(h))^h-1}{h}=1[/tex]
Denne definerer (implisitt) en funksjon a(h). e vil være gitt av grenseverdien
[tex]\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = e[/tex]
Ok, finner nå a(h) eksplisitt:
[tex](a(h))^h = 1+h[/tex]
[tex]a(h) = (1+h)^{\frac 1h}[/tex]
Tar grenseverdien:
[tex]e = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 }(1+h)^{\frac 1h}[/tex]
Som er en av tekstbokdefinisjonene på e.
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Man kan definere ln x til å være:
[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]
Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.
Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.
[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]
[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]
Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.
Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.
[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]
Samme måte, men litt annerledes notasjon ved bruk av identiske uttrykk og kjerneregelen:
[tex]x=lne^x \Rightarrow (x)^\prime = (lne^x)^\prime \Rightarrow 1=\frac{1}{e^x} \cdot (e^x)^\prime \Rightarrow (e^{x})^\prime = e^x[/tex]
2mx bokas bevis.
[tex]x=lne^x \Rightarrow (x)^\prime = (lne^x)^\prime \Rightarrow 1=\frac{1}{e^x} \cdot (e^x)^\prime \Rightarrow (e^{x})^\prime = e^x[/tex]
2mx bokas bevis.
Du glemte det "viktigste" da:ingentingg skrev:Man kan definere ln x til å være:
[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]
Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.
Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.
[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]
Vi definerer "e" til å være det tallet større enn 1 slik at arealet under grafen til 1/t mellom 1 og e er lik 1..
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Det er 3 måter som er vanlige å definere e på. Det kan vises at de er ekvivalente.
Sjekk linkene litt nede i tråden.:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... highlight=
Sjekk linkene litt nede i tråden.:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... highlight=
Ahh, riktig... jeg rota med den setninga her:ingentingg skrev:Her må du være forsiktig. Det gjelder kun når A er en konstant.. Viss ikke hadde jo den deriverte av et produkt, vært produktet av de deriverte.sEirik skrev: Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex].
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)\ \cdot \ \lim_{n \rightarrow \infty} (\cdot b_n)[/tex]
som er fra kapittelet om konvergens. Har nemlig ikke kommet til grenseverdier enda, så jeg antok jo i farta at det måtte stemme med grenseverdier også
----
Hmm, ser på side 233 i "Kalkulus" (TL) nå, og der står det jo at setninga jeg presenterte over, stemmer!