Potensfunksjon og eksponentialfunksjon

[sEirik]

Bevis at dersom vi har en potensfunksjon f(x) og en eksponentialfunksjon g(x) vil g(x) på et eller annet tidspunkt vokse forbi f(x), slik at

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \[g(x) - f(x) \]\ >\ 0[/tex].

[Janhaa]

Bevis er ikke min sterke side, har vel brukt ca 1 time det siste året.
Uansett, Antar g(x) = e[sup]x[/sup] og f(x) = x[sup]e[/sup]

g(x) - f(x) > 0 (*)
når x vokser

[tex]e^x\,-\,x^e > 0[/tex]

-------------------------------------------------------------

studerer [tex]\;h(x)=\frac{\ln(x)}{x},\;x\geq 1[/tex]

finner max verdi til h(x) ved derivasjon, der x(max) = e.
h[sub]max[/sub] = h(e) = e[sup]-1[/sup]

Setter så x = e inn i h(x):

[tex]\frac{\ln(e)}{e}\geq \frac{\ln(x)}{x}[/tex]

[tex]x \geq e \cdot \ln(x) = (\ln(x))\cdot e[/tex]

[tex]e^x \geq (e^{\ln(x)})^e[/tex]

[tex]e^x \geq x^e[/tex]

[tex]e^x\,-\,x^e \geq 0[/tex]

og er tilbake til (*)

Dvs:

g(x) > f(x) for x > e

g(x) > f(x) for x < e

g(x) = f(x) for x = e

[sEirik]

Oj, jeg har visst posta to versjoner av litt det samme beviset

Men det ser greit ut det der, i hvert fall vist for ett eksempel av funksjoner... Er vel ikke bevist generelt enda. Men se på den andre tråden, der har daofeishi vist det.

[Janhaa]

Oj, jeg har visst posta to versjoner av litt det samme beviset
Men det ser greit ut det der, i hvert fall vist for ett eksempel av funksjoner... Er vel ikke bevist generelt enda. Men se på den andre tråden, der har daofeishi vist det.

Den har vist ikke jeg heller sett...

Og ja, min var ikke generell. Jeg generaliserte...