Induksjonsbevisoppgave for vgs-elever

[daofeishi]

Denne oppgaven har blitt gitt i en tidligere opptakseksamen til matematikk ved Cambridge. Det er en grei oppgave å prøve seg på for vgs-elever som ønsker å øve seg på bevisføring:


Anta at

[tex]3 = \frac{2}{x_1} = x_1 + \frac{2}{x_2} = x_2 + \frac{2}{x_3} = ...[/tex]

Gjett et uttrykk for [tex]x_n[/tex] som en funksjon av n. Bevis at uttrykket ditt stemmer ved induksjon.

[Maple]

Er matematisk induksjon obligatorisk med matematikk siste året på videregående studieforberedende/allmennfag?

Hvis ikke, bør jo noen gi en leksjon (under "bevisskolen") hva ideen er og hvorfor og hvordan den virker.

[sEirik]

[tex]3 = \frac{2}{x_1} = x_1 + \frac{2}{x_2} = x_2 + \frac{2}{x_3} = ...[/tex]

Vi ser at

[tex]3 = x_{n-1} + \frac{2}{x_n}[/tex]

[tex]\frac{2}{x_n} = 3 - x_{n-1}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2}{3 - x_{n-1}}[/tex]

Vi ser også at

[tex]x_1 = \frac{2}{3}[/tex].

Det gir

[tex]x_2 = \frac{2}{3 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]x_3 = \frac{2}{3 - \frac{6}{7}} = \frac{14}{15}[/tex]

osv.

må stikke nå.

[daofeishi]

Er matematisk induksjon obligatorisk med matematikk siste året på videregående studieforberedende/allmennfag?

Hvis ikke, bør jo noen gi en leksjon (under "bevisskolen") hva ideen er og hvorfor og hvordan den virker.

Skal se om jeg kan få skrevet en post om grunnleggende matematiske bevisteknikker senere. Jeg lurer på om ikke induksjonsbevis har blitt pensum i matematikk X?

sEirik: du er ikke langt unna induksjonshypotesen. Cambridge neste? ;D

[kalleja]

jeg ville satt pris på om noen kunne fortelle meg hvordan man utfører induksjon på enkle bevis, på en måte som en absolutt amatør innen dette kan forstå?

[sEirik]

Hehe, måtte stikke ganske kjapt der, skulle på snowboard i dag
(Har akkurat kjøpt meg et brett)

Har en anelse om et mønster her ja, evaluerer en til før jeg er sikker.

[tex]x_4 = \frac{2}{3 - \frac{14}{15}} = \frac{30}{31}[/tex]

Jupp. Observerer at nevner er på formen [tex]2^{(n+1)} - 1[/tex], og at teller er 1 mindre enn nevner. Antar derfor at

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}[/tex]

[tex]x_1 = \frac{2^2 - 2}{2^2 - 1} = \frac{2}{3}[/tex]

Hypotesen stemmer for n = 1.

Antar at hypotesen stemmer for m = n-1.
Vi har at

[tex]x_n = \frac{2}{3 - x_{m}}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2}{3 - \frac{2^{m+1}-2}{2^{m+1}-1}[/tex]

Hmm, dette blir tragisk.

[tex]x_n = \frac{2}{\frac{3(2^{m+1}-1) - 2^{m+1}+2}{2^{m+1}-1}[/tex]

[tex]x_n = \frac{ 2(2^{m+1}-1 )}{3(2^{m+1}-1) - 2^{m+1}+2}[/tex]

[tex]x_n = \frac{ 2(2^n-1 )}{3(2^n-1) - 2^n+2}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{3(2^n-1) - 2^n+2}[/tex]

[tex]3(2^n - 1) - 2^n + 2 = 3 \cdot 2^n - 2^n -1 = 2 \cdot 2^n - 1 = 2^{n+1}-1[/tex]

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}[/tex]

Bevist.

[Magnus]

jeg ville satt pris på om noen kunne fortelle meg hvordan man utfører induksjon på enkle bevis, på en måte som en absolutt amatør innen dette kan forstå?

Kan jo sjekke http://realisten.com/artikkel.php?id=666

[kalleja]

å veldig fin artikkel tror jeg forstår basic'en nå.

[administrator]

Det vil komme mer på bevis etter hvert. Foreløpig har vi dette:

http://www.matematikk.net/klassetrinn/2MX/bevis.php

Mvh
Kenneth