Bevis- irrasjonalt tall

[Drezky]

Jeg klarer ikke å løse denne oppgaven for en eller annen grunn med tidligere erfaring fra tilsvarende oppgaver;
[tex]Bevis\:at:\:\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}\:er\:et\:irrasjonalt\:tall[/tex]

Jeg vet at:
Dersom x og y er begge rasjonale tall vet jeg at summen også blir rasjonal. Produktet av x og y blir også et rasjonalt tall. Kvotienten av x og y blir også rasjonal. Jeg vet også at det er vanlig å anta at x og y er rasjonale når vi holder på med kvadratrøtter og skal bevise noe –for eksempel klassikeren ”bevis at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall.
Så det lureste er vel kanskje å prøve seg på et kontrapositivt bevis?
Først omformer vi (blir ikke akkurat et finere utrykk)
[tex]\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}=\sqrt{2^2*3}-\sqrt{2}-\sqrt{2*3}=\sqrt{2}*\sqrt{2}*\sqrt{3}-\left (\sqrt{2} \right )-\left (\sqrt{2}*\sqrt{3} \right )=2\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{2}*\sqrt{3}[/tex]

Jeg kommer med påstanden at utrykket ovenfor er rasjonalt:

[tex]2\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{2}*\sqrt{3}=r[/tex]
Hvor [tex]r\in\mathbb{Q}[/tex]
[tex]2\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{2}*\sqrt{3}=r\Rightarrow \left ( 2\sqrt{3} \right )^2-\left ( \sqrt{2} \right )^2-\left (\sqrt{6} \right )^2=4*3-2-6=4[/tex]
Ble ikke særlig klokere av dette..
Noen som kan dytte meg på rett spor?

[Gjest]

En veldig vanlig fremgangsmåte er å bruke motsigelse og forsøke å bevise at uttrykket ditt er et rasjonalt tall.
$\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6} = \frac{a}{b}$ hvor a og b ikke har noen felles faktorer (forkortet)
Jeg antar at du ikke ønsker løsning ut fra måten du stiller spørsmålet på så du skal heller få noen hint.
- Hvis a og b ikke skal ha noen fellesfaktorer kan ikke begge være partall
- Et partall kan alltid deles på 2, 2 er en faktor i produktet mellom 2 og x dersom 2x er et partall
- Anta at a er partall
- beviset at roten av 2 er irrasjonelt er et fint bevis.

Tror det skulle holde

[Drezky]

Takker, men hva med dette:

[tex]\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}[/tex]
Hvor [tex]r\in\mathbb{Q}[/tex]
[tex]\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{-6}=r\Leftrightarrow \sqrt{12}-r=\sqrt{2}+\sqrt{6}\Rightarrow \left ( \sqrt{12}-r \right )^2=\left ( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right )^2\Leftrightarrow 12+r^2-2r\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}\Leftrightarrow r^2+1=4(1+r)\sqrt{3}[/tex]



Vi vet at [tex]\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}[/tex]. Det medfører at den siste likheten er riktig dersom:
[tex]r+1=r^2+1=0[/tex] Denne likheten er bare oppfylt dersom [tex]r=-1[/tex]
Men for denne verdien av r får vi at [tex]r^2+1=2\neq 0\Rightarrow selvmotsigelse[/tex]
Q.E.D ?

EDIT: Jeg vet at dette beviset ikke stemmer helt, bare vent..

[Gjest]

Mens jeg venter vil jeg bare sette et lite spørsmålstegn ved den siste likheten din.
Blir det ikke $r^2 + 12 - 8 = 4\sqrt{3} + 2r\sqrt{12} \Leftrightarrow r^2 + 4 = 4(1+r)\sqrt{3}$ ?

[Drezky]

Mens jeg venter vil jeg bare sette et lite spørsmålstegn ved den siste likheten din.
Blir det ikke $r^2 + 12 - 8 = 4\sqrt{3} + 2r\sqrt{12} \Leftrightarrow r^2 + 4 = 4(1+r)\sqrt{3}$ ?

Akkurat, det var det jeg mente... Gikk litt fort i svingene...

Men bruker samme argument:

Vi vet at [tex]\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}[/tex]
Med dette fører det at:
[tex]r+1=r^2+4=0[/tex]
Den første likheten : r=-1, men vi får [tex]r^2+4=5\neq0[/tex]
Altså en selvmotsigelse.
Som betyr at utrykket er et irrasjonallt tall

Eureka!
Fikk nettopp en idé der vi utnytter at [tex]r\in\mathbb{Q}[/tex] direkte.
[tex]\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}=r\in\mathbb{Q}[/tex] (1)
Kvadrerer:
[tex]r^2=-4\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{12}\sqrt{2}+4\sqrt{3}+20\rightarrow \in\mathbb{Q}[/tex] (2)
Men dette må jo bety at
[tex]\left (1 \right )-\left (2 \right )\in[/tex]
Etter å ha subtrahert. Kvadrerer jeg utrykket helt til jeg ender opp med:
[tex]-32\left ( 13564\sqrt{2}\sqrt{3}+27582\sqrt{2}-19139\sqrt{3}-39082 \right )\neq\mathbb{Q}[/tex]
Altså, er irrasjonallt.

[Gjest]

Jeg må dessverre si at jeg ikke helt skjønte argumentet ditt, men nå kan det hende det bare er jeg som er teit. Kunne du forklart litt mer utdypende hvorfor $r+1 = r^2 + 4 = 0$ dersom roten av 3 ikke er rasjonalt?

[Drezky]

Jeg må dessverre si at jeg ikke helt skjønte argumentet ditt, men nå kan det hende det bare er jeg som er teit. Kunne du forklart litt mer utdypende hvorfor $r+1 = r^2 + 4 = 0$ dersom roten av 3 ikke er rasjonalt?

Nå vet jeg ikke om jeg har rett eller ei, men jeg tenker at
Dersom vi har påstått at hele utrykket er [tex]\in\mathbb{Q}[/tex] så må vi prøve å motbevise det.
På den siste likningen vet vi at [tex]\sqrt{3}\neq\mathbb{Q}[/tex]
Derfor må r+1=r^2+4=0 fordi [tex]0*irrasjonallttall=rasjonalt\:tall[/tex]. Men siden dette ikke stemmer (vi ender opp med [tex](-1)^2+4=5\neq0[/tex] får vi altså en selvmotsigelse

[Gustav]

[tex]Bevis\:at:\:\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}\:er\:et\:irrasjonalt\:tall[/tex]

La $r=\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}$, så $|r|<1$

Det minimale polynomet til $r$ over $\mathbb{Q}$ er $f(x):=x^4-40x^2-96x-32$.

Fra "rational root theorem" er de eneste rasjonale røttene $\pm\frac{1,2,4,8,16,32}{1}$. Det er klart at $r$ ikke kan være blant disse, dermed er $r$ irrasjonalt.

[Drezky]

[tex]Bevis\:at:\:\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}\:er\:et\:irrasjonalt\:tall[/tex]

La $r=\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}$, så $|r|<1$

Det minimale polynomet til $r$ over $\mathbb{Q}$ er $f(x):=x^4-40x^2-96x-32$.

Fra "rational root theorem" er de eneste rasjonale røttene $\pm\frac{1,2,4,8,16,32}{1}$. Det er klart at $r$ ikke kan være blant disse, dermed er $r$ irrasjonalt.

Nice. Denne løsningen hadde jeg aldri klart å sett for meg. Men noen formeninger om mitt forsøk? Holder det som et bevis?

[Gjest]

Okey, da har jeg tenkt litt og sovet på det du sa, også får du korrigere meg om jeg har misforstått.

Vi startet med å anta at r var rasjonal, du ønsker å vise at det er irrasjonalt.
Du har helt rett i at 0*irrasjonal = rasjonal (og 0*rasjonal = rasjonal forsåvidt), men du kan ikke velge å sette r+1 = 0 fordi vi alt vet at r ikke er -1.

Dette opprinnelige uttrykket er ikke -1 og dermed kan du ikke lovlig sette r=-1 (altså r+1=0)
$\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6} \neq -1$
Hvis du hadde fått oppgitt likningen $x^2 = x + 2$ kunne du heller ikke lovlig bare satt $x^2=x+2=0 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow (-2)^2 \neq 0$, derfor stemmer ikke likheten (når den åpenbart gjør det for $x=-1$ og $x=2$)
Nå blir det litt mindfuck, men poenget mitt er egentlig at det er en selvmotsigelse i betingelsene for selvmotsigelsen du setter. Allerede når du antar at $r+1=0$ er ikke dette mulig fra uttrykket som sier at $r^2+4 = 4(1+r)\sqrt{3}$, altså er det ikke en gyldig antagelse.
Sry, hvis det ikke ga mening , og jeg skal ikke si helt bombesikkert at beviset ditt er galt, men for meg virker det som om det ikke er gyldig. Kan gjerne få kommentar fra andre også.

Også, hvordan vet du at dette tallet er irrasjonelt?
$-32\left ( 13564\sqrt{2}\sqrt{3}+27582\sqrt{2}-19139\sqrt{3}-39082 \right )\neq\mathbb{Q}$

[Gustav]

Virker ikke helt rett på meg heller . Her er en måte å bevise det på, uten bruk av fancy teoremer:


La $r=2\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{3}=2y-x-xy$, der $x=\sqrt{2}$ og $y=\sqrt{3}$.

Da er $r^2=20-12x+4y-4xy$, så

$4r-r^2+20=4y+8x$

og

$(4r-r^2+20)^2=(4y+8x)^2 = 176+64\sqrt{6}$, så

$\frac{(4r-r^2+20)^2-176}{64}=\sqrt{6}$

$\sqrt{6}$ er irrasjonalt, som bevises på samme måte som for $\sqrt{2}$.

Anta at $r$ er rasjonalt. Da må $\sqrt{6}$ være rasjonalt, som er en motsigelse.

[Drezky]

Virker ikke helt rett på meg heller . Her er en måte å bevise det på, uten bruk av fancy teoremer:


La $r=2\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{3}=2y-x-xy$, der $x=\sqrt{2}$ og $y=\sqrt{3}$.

Da er $r^2=20-12x+4y-4xy$, så

$4r-r^2+20=4y+8x$

og

$(4r-r^2+20)^2=(4y+8x)^2 = 176+64\sqrt{6}$, så

$\frac{(4r-r^2+20)^2-176}{64}=\sqrt{6}$

$\sqrt{6}$ er irrasjonalt, som bevises på samme måte som for $\sqrt{2}$.

Anta at $r$ er rasjonalt. Da må $\sqrt{6}$ være rasjonalt, som er en motsigelse.

Det var dette jeg var på utkikk etter

[Gjest]

[tex]\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6}=r\in\mathbb{Q}[/tex]
[tex](\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{6})^2=r^2\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow (-4\sqrt{2}\sqrt{3}-12\sqrt{2}+4\sqrt{3}+20)[/tex]
[tex](1)-(2)=\sqrt{2}\sqrt{3}*3-2\sqrt{3}+\sqrt{2}*11-20\in\mathbb{Q}[/tex]
[tex](\sqrt{2}\sqrt{3}*3-2\sqrt{3}+\sqrt{2}*11-20)^2=-16*\frac{41\sqrt{2}\sqrt{3}+119\sqrt{2}-53\sqrt{3}-177}{4}\notin\mathbb{Q}[/tex]
Faller ikke dette i sin egen rimelighet? Men når vi først skal føre et bevis er jeg enig at det ikke burde være så opplagt..