Bevis v.h.a induksjon

[Drezky]

Sliter med denne oppgaven:


Bevis dette ved induksjon:


[tex]\sum_{r=1}^{n}r(r+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)[/tex]

Jeg ser først om det stemmer for n=1

[tex]\sum_{r=1}^{1}r(r+1)=\frac{1}{3}(1)*(1+1)*(1+2)=2[/tex]
og [tex]\sum_{r=1}^{1}r(r+1)=1(1+1)=2[/tex]
Altså det stemmer for n=1
Deretter antar jeg at utrykket stemmer for n=k
Altså [tex]\sum_{r=1}^{k}r(r+1)=\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)[/tex]
Så skal jeg vel vise at antagelsen medfører at utsagnet er sant for den neste verdien av n altså [tex]n=k+1[/tex]
Men her sliter jeg..
[tex]\sum_{r=1}^{k+1}r(r+1)=\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)[/tex]
Jeg ser ikke hvordan jeg skal komme meg videre her fra.
Jen tenker at summen av k+1 må være = summen av k + verdien når r=k+1 ?

[Gjest]

Du tenker riktig, men så var det å faktisk gjøre det da
"Alltid" bruk antagelsen din når du utfører induksjon (det er derfor du antar den)
[tex]\sum_ {r=0}^{k} = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)[/tex]
[tex]\sum_ {r=0}^{k+1} = \left(\sum_ {r=0}^{k} k(k+1)\right) + (k+1)((k+1)+1)[/tex]
[tex]\sum_ {r=0}^{k+1} = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)[/tex]

Vis nå at:
[tex]\frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)[/tex]
Nå er du ikke langt unna mål .

[Drezky]

[tex]\sum_{r=1}^{k}r*(r+1)+(k+1)*(k+2)=\frac{1}{3}*(k+1)*(k+2)*(k+3)[/tex]
[tex]\frac{1}{3}*k*(k+1)*(k+2)+(k+1)*(k+2)=\frac{1}{3}*(k+1)*(k+2)*(k+3)[/tex]
[tex](k+1)*(k+2)*(\frac{1}{3}*k+1)=\frac{1}{3}(k+1)*(k+2)*(k+3)[/tex]

[tex]\frac{1}{3}*(k+1)*(k+2)*(k+3)=\frac{1}{3}*(k+1)*(k+2)*(k+3)[/tex]


Betyr dette at utsagnet er riktig for alle der [tex]n\in \mathbb{Z}^+[/tex] ?

[Gjest]

Det stemmer av sigma funskjonen