Konstant avstand fra Ellipse

[Dinithion]

I et annet forum kom jeg over et problem som jeg syntes virket veldig interesant. Jeg har omformulert det litt mer matematisk, men det han lurte på var følgende:

Anta at man har en ellipse. F.eks med store og lille halvakse a og b hhv. Hvis vi nå tegner en ny figur inne i ellipsen som har konstant avstand fra ellipsen, si en avstand z < b og b < a. Vil dette være en ny ellipse?

Da har vi likningene:

[tex](\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 = 1[/tex]
og
[tex](\frac{x}{a-z})^2 + (\frac{y}{b-z})^2 = 1[/tex]

Setter vi nå inn for x og y = 0, får vi at

[tex]y^2 = (b-z)^2 \Rightarrow z = b - y[/tex]
og
[tex]z = a - x[/tex]

Hvor jeg har droppet absoluttverdier pga initialbetingelser.

Løser vi nå for den første ellipselikningen og setter inn, finner vi at dette kun er gyldig for z = 0.

Er dette et gyldig bevis?

Figur

Prøv å se forbi at det ikke helt ligner ellipser Det er ikke så lett å tegne

Edit:

Jeg er usikker fordi det i noen tilfeller burde være tilfellet at det ble en ny ellipse, nemlig for spesialtilfellet a = b, og en sirkel med konstant avstand fra en annen sirkel. Dette kommer ikke fram av "beviset" og jeg antar derfor at det er feil

(Retter opp i masse tullefeil)

[espen180]

Her ser det ut som om du først har antatt konklusjonen, deretter forsøkt å finne skjæringspunkter mellom ellipsen og den nye figuren.

Den nye figuren vil kan beskrives parametrisk som [tex]\vec{r}(t)=((a-z)\cos t,(b-z) \sin t)[/tex]. Dette er en ellipse, så vidt jeg kan se, med halvakser a-z og b-z, som forventet.

[Dinithion]

Bevisførsel er ikke min side, og nettopp derfor jeg tok den i det forumet. Så jeg skal lett innrømme at en løsning med polarkoordinater ble veldig fin og noe jeg burde ha gjort.

Men ellers var vel innlegget lite konstruktivt, for jeg ønsker å vite hvor jeg snubler, ikke nødvendigvis bare konklusjonen. Men når jeg ser etter så er jo det jeg skrev bare tull fra ende til annen allikevel..

Edit:
Jeg rettet noen slurvefeil (Som ikke endret gangen i) beviset.

Jeg tenkte helt feil under bevisførselen min, så dere kan i grunn bare se vekk fra hele greiene. Jeg får skylde på at jeg jobbet i natt