Summen av de 8 første kubikktallene i rekkefølge er 1296. I denne rekkefølgen finner vi 4 kubikktall etter hverandre, som har en sum som er nøyaktig halvparten så stor som summen av de resterende kubikktallene. Det er greit nok å finne disse 4 kubikktallene.
Klarer noen å finne 12 kubikktall etter hverandre i tallrekken som ikke begynner på 1, men har fortsatt 4 kubikktall etter hverandre med samme betingelsene som den forrige oppgaven?
Spesielt med kubikktall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Den eneste løsningen er de 12 påfølgende kubikktallene fra og med $4^3$ og de fire påfølgende kubikktallene fra og med $9^3$.
Bevis:
La $f(n)$ og $g(n)$ henholdsvis være summen av 12 og 4 påfølgende kubikktall fra og med $n^3$.
Det er velkjent at summen av de $n$ første kubikktallene er $(\frac{n(n+1)}{2})^2$. Dermed er $f(n)=(\frac{(n+11)(n+12)}{2})^2-(\frac{(n-1)n}{2})^2$ og $g(n)=(\frac{(n+3)(n+4)}{2})^2-(\frac{(n-1)n}{2})^2$. Vi ønsker å finne to heltall $k$ og $n$ slik at $f(n)=3g(n+k)$, der $1<n$ og $0\leq k< 12$. Vi vil altså finne ut for hvilke $k$ polynomet $P_k(n)=f(n)-3g(n+k)$ har positive heltallsrøtter. En rask sjekk gir oss at $deg P_k\leq 2$ for alle $k$. Siden det kun er 12 mulige verdier for $k$ og $P_k$ er et andregradspolynom, er det ikke helt urimelig å regne ut $P_k$ og bruke abc-formelen for hver verdi av $k$ for å finne røttene. Jeg gjorde dette steget med hjelp av datamaskin. Resultatet man får er at den eneste løsningen er $(n,k)=(4,5)$.
Lurer på om det eksisterer en løsning som krever færre utregninger.
Bevis:
La $f(n)$ og $g(n)$ henholdsvis være summen av 12 og 4 påfølgende kubikktall fra og med $n^3$.
Det er velkjent at summen av de $n$ første kubikktallene er $(\frac{n(n+1)}{2})^2$. Dermed er $f(n)=(\frac{(n+11)(n+12)}{2})^2-(\frac{(n-1)n}{2})^2$ og $g(n)=(\frac{(n+3)(n+4)}{2})^2-(\frac{(n-1)n}{2})^2$. Vi ønsker å finne to heltall $k$ og $n$ slik at $f(n)=3g(n+k)$, der $1<n$ og $0\leq k< 12$. Vi vil altså finne ut for hvilke $k$ polynomet $P_k(n)=f(n)-3g(n+k)$ har positive heltallsrøtter. En rask sjekk gir oss at $deg P_k\leq 2$ for alle $k$. Siden det kun er 12 mulige verdier for $k$ og $P_k$ er et andregradspolynom, er det ikke helt urimelig å regne ut $P_k$ og bruke abc-formelen for hver verdi av $k$ for å finne røttene. Jeg gjorde dette steget med hjelp av datamaskin. Resultatet man får er at den eneste løsningen er $(n,k)=(4,5)$.
Lurer på om det eksisterer en løsning som krever færre utregninger.