Anta for motstigelse at det finnes en 5-kant som ikke oppfyller kriteriet. Da ser vi på den 5-kanten med minimal areal som ikke oppfyller kriteriet. Kall den ABCDE. La A' være BD snittet med CE. Definer B',C',D',E' symetrisk.
Siden det bare finnes 4 kombinasjoner av paritet på y og x kordinaten til et punkt, vet vi av due-hull prinsippet at det eksisterer 2 punkter i ABCDE som har lik paritet både på y kordinaten og x kordinaten. Da vil midtpunket av disse 2 punktene også ha heltallige kordinater.
Lemma: det eksisterer ikke noen gitterpunkter utenom A i trekanten AD'C'
Anta at det eksisterer et punkt i trekanten som er et gitterpunkt som ikke er A. Kall dette punktet P. Da vil man kunne ta femkanten BCDEP, og det er en motstigelse siden ABCDE er den minimale femkanten som ikke oppfyller kriteriet.
Nå gjør vi tillfellearbeid.
1. Hvis de to punktene som har lik paritet er en diagonal. WLOG la dette være diagonalen AC. La M være midpunktet.
da vil vi ha av lemma som er symetrisk om alle punktene at M ikke ligger på CE', E'D',D'A, som er helt idiotisk, siden det må ligge på linjestykket AC.
2. Hvis de to punktene som har lik paritet er en side. WLOG la dette være siden AB. Se på femkanten BMCDE, dette er igjen en femkant som ikke oppfyller kriteriet, men har mindre areal enn ABCDE, en til motstigelse.
Jeg tenker at fra nå av skal vi stoppe å legge ut unyttige ting som dette her. Istedenfor kan vi gjøre litt ekte geometri.
