matematikk.net

Denne oppgaven går ut på å finne en av mange trekanta rette pyramider som har både sidekanter og høyde i hele tall. Betingelsene må være at pyramiden må ha trekanta likesidet grunnflate med sidekanter 1 cm kortere enn de øvrige sidekantene i pyramiden. I intervallet av slike pyramider med høyde og alle sidekanter i hele tall, så vil en pyramide inntreffe som har en høyde nøyaktig 23 cm kortere enn grunnflatens sidekanter. Hvilken høyde har den pyramiden?

I denne pyramiden er grunnflate en likesidet trekant $ABC$ med sidelengde $x$ og sidekanter av lengde $x+1$.

Høyden $h$ er avstanden fra toppen $T$ på pyramiden til fotpunktet $S$ i grunnflata. La $D$ være fotpunktet for normalen fra $S$ på $AB$. Da er trekant $ADS$ rettvinklet der $\angle ADS = 90^{\circ}$, $\angle DAS = 30^{\circ}$ og ${\textstyle AD = \frac{x}{2}}$. Følgelig er

$AS = \frac{AD}{\cos 30^{\circ}} = \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{x}{\sqrt{3}}$.

Videre er trekant $AST$ en rettvinklet trekant med hypotenu $AT$ og katet $AS$. Pyagorassetningen gir at $h$ er

${\textstyle h^2 = ST^2 = AT^2 - AS^2 = (x + 1)^2 - (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = \frac{2}{3}x^2 + 2x + 1}$.

Nå er $h = x-23$, som medfører at

$3(x - 23)^2 = 2x^2 + 6x + 3$
$x^2 - 144x + 1584 = 0$
$(x - 12)(x - 132) = 0$

Altså er $x=132$ (siden $h=x-23$ betyr at $x>23$). Dermed er høyden i pyramiden

$h = x - 23 = 132 - 23 = 109$.

Takk for flott løsning og rett svar.

Viss vi heller bruker 241 cm istedet for 23 cm, så har den nye pyramiden en høyde på 1079 cm, og er den neste i rekken, etter mine beregninger. Det er gjerne logisk å tro at rekken av slike pyramider fortsetter.