Omsirkel-nøtt

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Bilde

Kvadratet har sider på 10 cm, mens kvartsirklene har radius 5 cm. Hvilken radius har den omskrevne sirkel?
Vedlegg
Omsirkel til figur.png
Omsirkel til figur.png (79.85 kiB) Vist 4497 ganger
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Anta at dei to "prikkane" på den øverste kvartsirkelen avgrensar ein boge på v grader ( går ut frå at prikken til venstre ligg på omsirkel )
Da er radien til omsirkel = 10 - 5 tanv
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Vinkelen v eg viste til i mitt første innlegg må oppfylle likninga

5 + [tex]\frac{5}{cosv}[/tex] = 10 - 5 tanv , v [tex]\in[/tex] [ 0 , 45[tex]^{0}[/tex] [tex]>[/tex]




Denne likninga har berre ei løysing : v = 0

Svar: Radius( omsirkel ) = 5 + [tex]\frac{5}{cos0}[/tex] = 10 - tan0 = 10
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1685
Registrert: 03/10-2005 12:09

Vi setter inn et koordinatsystem der origo er skjæringspunktet mellom diagonalene i kvadratet.

Likningen for den omskrevne sirkelen er

$(1) \;\; (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$,

der $(a,b)$ er sentrum og $r$ er radius i den omskrevne sirkelen.

Vi ser vi at punktene $(10,0), (0,10), (-5,-5)$ ligger på den omskrevne sirkelen. Ergo må ifølge likning (1)

$(2) \;\; (10 - a)^2 + b^2 = r^2$,
$(3) \;\; a^2 + (10 - b)^2= r^2$,
$(4) \;\; (a + 5)^2 + (b + 5)^2 = r^2$.

Ved å trekke likning (2) fra likning (3), får vi $20(a - b) = 0$, i.e. $a=b$, som innsatt i likning (3) og (4) gir oss

$(5) \;\; 2a^2 - 20a + 100 = r^2$,
$(6) \;\; 2a^2 + 20a + 50 = r^2$.

Ved å trekke likning (5) fra likning (6), får vi $40a - 50 = 0$. Altså er ${\textstyle a = \frac{5}{4}}$, som insatt i likning (6) gir

${\textstyle r^2 = 2(\frac{5}{4} + 5)^2 = 2 \cdot (\frac{25}{4})^2}$,

som medfører at

${\textstyle r = \frac{25}{2\sqrt{2}}}$.
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Ryddig og strukturert løysing v/ Solar Plexus. Vedlegget til oppgåva ( figuren ) kan mistydast. Det burde vore presisert i oppgaveteksta at den øverste kvartsirkelen og omsirkel har to fellespunkt ( ingen fellestangent ).
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Denne løsningen var nær, men ikke helt etter det eksakte svaret.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

LAMBRIDA skrev: 11/04-2022 22:36 Denne løsningen var nær, men ikke helt etter det eksakte svaret.
Han har jo et eksakt svar. Hva er ditt eksakte svar?
Kan du ikke vise full utregning så vi får se….
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Eg skal prøva å visa det eksakte svaret og den måten eg regner på. Det er ikke likninger, men et bevis på at svaret mitt er rett. Eg skal prøva på dette i morgen.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

LAMBRIDA skrev: 11/04-2022 22:36 Denne løsningen var nær, men ikke helt etter det eksakte svaret.
Du blander ikke med denne;

[tex]r=\frac{25\sqrt{2}}{4}[/tex]

?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Det eksakte uttrykket på radien til omsirkelen: 5/3(2[tex]\sqrt{10}-1) =8,874258867 cm[/tex]

Linjestykket EF går fra F, gjennom B og S og treffer E vinkelrett på AC. Den rettvinkla og likebente trekanten ABC har 45 grader både i A og C, mens den har 90 grader i B. SF, SA og SC er radien til omsirkelen.

SF(8,87425)-BF(5)= BS(3,87425). EB(7,90569415)-BS(3,87425)=SE(4,03144415)
Høyden i trekanten ABS og CBS: BS(3,87425*sin 45 =2,739508447 cm.

Shift sin 2,73950844/8,87425 =17,98109039 grader
Shift sin 4,03144415/8,87425 = 27,01897908 grader
Summen av de to vinklene her blir 45 grader, som er vinkelgradene i A og C. Det betyr at radien på omsirkelen er rett med det eksakte uttrykket eg har vist. Ellers hadde vi ikke fått summen 45 grader, som vi vet at vinkelgradene er i A og C.




Bilde
Vedlegg
Omsirkel til figur, fasit.png
Omsirkel til figur, fasit.png (129.43 kiB) Vist 4257 ganger
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Kommentar:

Dersom C er einaste fellespunkt mellom omsirkel og kvartsirkel ( del av halvsirkel ) , må radien CS gå langs radien til kvartsirkel i punktet C ettersom desse
sirklane da får ein fellestangent i dette punktet( C ). Uansett greier eg ikkje å sjå at [tex]\bigtriangleup[/tex]ACB er likebeina og rettvinkla.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

A5419550-DA65-43E8-AA4E-3D37C5B7E8E9.jpeg
A5419550-DA65-43E8-AA4E-3D37C5B7E8E9.jpeg (1.03 MiB) Vist 4204 ganger
Bruker formel for omskreven sirkel direkte:

[tex]R = \frac{a*b*c}{4*triangle\,\, Area }=\frac{\sqrt{250}\sqrt{250}*10*\sqrt{2}}{4*0.5*10\sqrt{2}*10\sqrt{2}}=25/(2\sqrt{2})=(25\sqrt2)/4[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Kontrollrekning:

Viser til Janhaa sitt innlegg som verifiserer Solar Plexus si løysing.

Den innskrivne trekanten er likebeina med sider [tex]\sqrt{250}[/tex], [tex]\sqrt{250}[/tex] og 10[tex]\sqrt{2}[/tex]

Lat 2[tex]\alpha[/tex] vere vinkelen mellom dei like lange sidene .

Da er sin( 2[tex]\alpha[/tex] ) = 2 [tex]\cdot[/tex] sin( [tex]\alpha[/tex] ) [tex]\cdot[/tex] cos( [tex]\alpha[/tex] ) = 2[tex]\cdot[/tex] [tex]\frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{10}}[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{10}}[/tex] = [tex]\frac{4}{5}[/tex]

Finn radius R i omskriven sirkel.

Sinusproporsjonen for trekant gir

2 R = ( side i trekanten )/ ( sinus til motståande vinkel ) = [tex]\frac{10\sqrt{2}}{\frac{4}{5}}[/tex] = [tex]\frac{25}{2}[/tex][tex]\sqrt{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] R = [tex]\frac{25}{4}[/tex][tex]\sqrt{2}[/tex]

Lambrida og Mattebruker lot seg "forføre" av vedlegget til oppgåva ( figuren ) som indikerer at øverste kvartsirkel tangerer omsirkel. Slik er det openbart ikkje.
Dei to objekta har to fellespunkt og dermed ingen fellestangent. Sentrum S i omsirkel kan derfor ikkje ligge på forlenginga av radien FB ( sjå skisse v/ Lambrida )
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Eg har jo vist dere det eksakte svaret.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Virker som det har vært noen misforståelser av oppgaven(?) Generelt vil 3 punkter i planet (som ikke ligger på en linje) definere en entydig sirkel, og her tolker jeg det som at den omskrevne sirkelen er definert av punktet til høyre, et av hjørnene i kvadratet, samt det felles tangeringspunktet mellom den øvre kvartsirkelen og den største sirkelen. I så fall stemmer det ikke at punkt (0,10) ligger på den omskrevne sirkelen (ref. Solar plexus sitt innlegg)
Svar