Matrisenøtt
Lagt inn: 01/02-2022 00:22
La $A$ og $B$ være forskjellige (reelle) $n\times n$ matriser ($A\neq B$). Hvis $A^3=B^3$ og $A^2B=B^2A$, vis at $A^2+B^2$ er singulær.
Fra oppgaveteksten vet vi at [tex]A^{2}B+B^{3}=A^{3}+B^{2}A[/tex].
Siden matrisemultiplikasjon ditribuerer, får vi [tex](A^{2}+B^{2})B=(A^{2}+B^{2})A[/tex].
Anta for motsigelsens skyld at [tex]A^{2}+B^{2}[/tex] har en invers.
Det betyr at [tex]A=(A^{2}+B^{2})^{-1}(A^{2}+B^{2})A=(A^{2}+B^{2})^{-1}(A^{2}+B^{2})B=B[/tex].
Dette motsier kravet i oppgaven om at [tex]A\neq B[/tex].
Dermed er [tex]A^{2}+B^{2}[/tex] singulær.
