matematikk.net

Skriv den enkleste utrekning du klarer, slik at summen av uendelig mange slike tallrekker`s summer nedenfor stemmer.
Da kan denne være en kjekk oppgave;

Hva blir summen av 1 til 1000 +1 til 999 +1 til 998 +1 til 997 osv, helt til +1?

Leser jeg det rett?

$$\sum\limits_{i=1}^{1000} \sum\limits_{j=1}^i j$$

Beklager at eg ikke klarer å tolke disse tegnene i matematikken. Eg skal prøve å forklare noe, og eg håper du får svar på det du spør om.
De tre første og største summene av i alt 999 tallrekkesummer som skal legges sammen er: 500500 og 499500 og 498501 for henholdsvis summen av 1 til 1000 og 1 til 999 og 1 til 998 osv. Til slutt blir det bare tallet 1 som legges til.
Skriv formelen eller regnestykket så enkel du klarer, slik at summen stemmer.

Tror vi er på samme side.

Det jeg skrev tilsvarer

$1 + (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + \ldots + (1+2+3+4+\ldots+1000)$

Kjørte det i Python og fikk 167167000.

Svaret er helt rett. Eg har laget formelen og en annen enkel utrekning som eg gjerne vil forklare. Fint om du kan vise meg noe, så kan eg sammenligne.

Jeg har dessverre ikke regna det for hånd, så jeg har ingen pen formel.

Men koden er veldig enkel.

Formelen eg har laget ser slik ut:
n*(n+2*n+1)/6

Eg mener bestemt at formelen står i samsvar med følgende beskrivelse:
Summen av alle slike tallrekker`s summer eg har vist, tilsvarer alltid hvor mange mulige 3 forskjellige kuler til dømes kan tas ut av antallet n+2.

Har du skrevet det riktig? Du har "n+2*n" inni parentesen. Det kan forenkles til 3n, men det virker mer som en typo.

n*(n+2)*(n+1)/6

Ser det bedre ut nå?

Jepp, det ser rett ut. Og er et uttrykk for summen av de første $n$ trekanttallene, der $1, \ 1+2, \ 1+2+3, \ldots$ er trekanttall.

Hvilken metode brukte du? Den kan vel vises ved induksjon blant annet.

Kult! Induksjon er nok den mest rett frem måten å vise det på, og den jeg brukte. En ting som er litt artig er at om tallene beskrevet her summeres opp igjen får man [tex]\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)} {24}[/tex]. Og om disse tallene igjen summeres får man [tex]\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} {120}[/tex]. Et kombinatorisk argument går på å observere at siden det [tex]n-te[/tex] trekanttallet er [tex]\binom{n+1}{2}[/tex]. Da er det som vi vil vise her at [tex]\binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \ldots \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}[/tex], og dette er mulig å vise kombinatorisk ved f.eks. å bare bruke identiteten [tex]\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}[/tex] mange ganger. Tilsvarende kan det vises at [tex]\binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \ldots \binom{n+2}{3} = \binom{n+3}{4}[/tex], osv.

Man kunne kanskje også gjort et geometrisk argument ved å tenke på dette som "k-simpleks-tall", der 1-simplekstall er de alminnelige tallene, 2-simplekstall er trekanttall, 3-simplekstall/tetraedertall blir tallene beskrevet her, og så videre. Da er grunnen til at trekanttallene er summen av de vanlige tallene at en trekant kan kuttes opp i [tex]n[/tex] linjestykker med lengder [tex]1, \ldots, n[/tex], og grunnen til at tetraedertallene er summen av trekanttallene at et tetraeder kan kuttes opp i [tex]n[/tex] trekantflater, der hver flate har størrelse lik et trekanttall, og så videre. Det trengs litt formalisering for å gjøre dette skikkelig, men tror det skulle gått.