Skriv den enkleste utrekning du klarer, slik at summen av uendelig mange slike tallrekker`s summer nedenfor stemmer.
Da kan denne være en kjekk oppgave;
Hva blir summen av 1 til 1000 +1 til 999 +1 til 998 +1 til 997 osv, helt til +1?
Ny talloppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Beklager at eg ikke klarer å tolke disse tegnene i matematikken. Eg skal prøve å forklare noe, og eg håper du får svar på det du spør om.
De tre første og største summene av i alt 999 tallrekkesummer som skal legges sammen er: 500500 og 499500 og 498501 for henholdsvis summen av 1 til 1000 og 1 til 999 og 1 til 998 osv. Til slutt blir det bare tallet 1 som legges til.
Skriv formelen eller regnestykket så enkel du klarer, slik at summen stemmer.
De tre første og største summene av i alt 999 tallrekkesummer som skal legges sammen er: 500500 og 499500 og 498501 for henholdsvis summen av 1 til 1000 og 1 til 999 og 1 til 998 osv. Til slutt blir det bare tallet 1 som legges til.
Skriv formelen eller regnestykket så enkel du klarer, slik at summen stemmer.
Sist redigert av LAMBRIDA den 30/01-2022 18:13, redigert 1 gang totalt.
Jeg har dessverre ikke regna det for hånd, så jeg har ingen pen formel.
Men koden er veldig enkel.
Men koden er veldig enkel.
Kode: Velg alt
sum = 0
for i in range(1, 1001):
for j in range (1, i+1):
sum += j
print(sum)
Formelen eg har laget ser slik ut:
n*(n+2*n+1)/6
Eg mener bestemt at formelen står i samsvar med følgende beskrivelse:
Summen av alle slike tallrekker`s summer eg har vist, tilsvarer alltid hvor mange mulige 3 forskjellige kuler til dømes kan tas ut av antallet n+2.
n*(n+2*n+1)/6
Eg mener bestemt at formelen står i samsvar med følgende beskrivelse:
Summen av alle slike tallrekker`s summer eg har vist, tilsvarer alltid hvor mange mulige 3 forskjellige kuler til dømes kan tas ut av antallet n+2.
Kult! Induksjon er nok den mest rett frem måten å vise det på, og den jeg brukte. En ting som er litt artig er at om tallene beskrevet her summeres opp igjen får man [tex]\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)} {24}[/tex]. Og om disse tallene igjen summeres får man [tex]\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} {120}[/tex]. Et kombinatorisk argument går på å observere at siden det [tex]n-te[/tex] trekanttallet er [tex]\binom{n+1}{2}[/tex]. Da er det som vi vil vise her at [tex]\binom{2}{2} + \binom{3}{2} + \ldots \binom{n+1}{2} = \binom{n+2}{3}[/tex], og dette er mulig å vise kombinatorisk ved f.eks. å bare bruke identiteten [tex]\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}[/tex] mange ganger. Tilsvarende kan det vises at [tex]\binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \ldots \binom{n+2}{3} = \binom{n+3}{4}[/tex], osv.
Man kunne kanskje også gjort et geometrisk argument ved å tenke på dette som "k-simpleks-tall", der 1-simplekstall er de alminnelige tallene, 2-simplekstall er trekanttall, 3-simplekstall/tetraedertall blir tallene beskrevet her, og så videre. Da er grunnen til at trekanttallene er summen av de vanlige tallene at en trekant kan kuttes opp i [tex]n[/tex] linjestykker med lengder [tex]1, \ldots, n[/tex], og grunnen til at tetraedertallene er summen av trekanttallene at et tetraeder kan kuttes opp i [tex]n[/tex] trekantflater, der hver flate har størrelse lik et trekanttall, og så videre. Det trengs litt formalisering for å gjøre dette skikkelig, men tror det skulle gått.
Man kunne kanskje også gjort et geometrisk argument ved å tenke på dette som "k-simpleks-tall", der 1-simplekstall er de alminnelige tallene, 2-simplekstall er trekanttall, 3-simplekstall/tetraedertall blir tallene beskrevet her, og så videre. Da er grunnen til at trekanttallene er summen av de vanlige tallene at en trekant kan kuttes opp i [tex]n[/tex] linjestykker med lengder [tex]1, \ldots, n[/tex], og grunnen til at tetraedertallene er summen av trekanttallene at et tetraeder kan kuttes opp i [tex]n[/tex] trekantflater, der hver flate har størrelse lik et trekanttall, og så videre. Det trengs litt formalisering for å gjøre dette skikkelig, men tror det skulle gått.