Finn to tall

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Finn alle hele tall k slik at både k+3 og 622 k +3 er et kvadrattall. Hvilke to hele tall k har en differanse på nøyaktig 100?
Sist redigert av LAMBRIDA den 19/12-2021 21:56, redigert 1 gang totalt.
ABEL1
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 28/12-2020 22:48

e
Sist redigert av ABEL1 den 08/04-2022 15:39, redigert 5 ganger totalt.
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Det ser ut som de to talla ikke er funnet, som gir den eneste løsningen med en differanse på nøyaktig 100.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

ABEL1 skrev: 19/12-2021 21:46 Svar på første del av oppgaven: Gitt [tex]622k+3[/tex]
Fra [tex]622=\prod_{P}^{K}p_i^{n_j}= p_1*p_2=2*311[/tex] følger at [tex]2[/tex] og[tex]311[/tex] ikke deler felles faktorer .Da oppnås [tex]622(623-(623>k>1))\neq \prod_{i=1}^{k=2}m[/tex][tex]\neq[/tex][tex](622(k>622))+3)[/tex] som betyr at kvadrattall bare intreffer når [tex]\sqrt{2*311}*\sqrt{\prod_{i=1}^{n=2k+1}i=622}[/tex]=[tex]\prod_{i=1}^{n=2k}i=622[/tex]=[tex]\prod_{i}^{a=2}x_1*\prod_{i}^{a=2}x_2....*\prod_{i}^{a=2}x_i[/tex] slik at [tex]\prod_{P}^{K}=p_j^{n_j} =\prod_{i}^{a=2}\prod_{i}^{a=2}***\prod_{i}^{a=2}=x_1x_2***x_i[/tex] som kan omskrives av to andre tall [tex]\prod_{i=1}^{j=2}i=a[/tex] når [tex]\prod_{i=1}^{j=2}i=a[/tex] >[tex]\sqrt{2*311}*\sqrt{\prod_{i=1}^{n=1}i=622}[/tex]=[tex]\prod_{i=1}^{p=2}i=622[/tex] for [tex]k\in N_0[/tex] som betyr at [tex]622k+3[/tex]bare kan være kvadrattall når[tex]\prod_{i=0}^{q\neq (2k+1,2k),q=0}i=622=622^0[/tex] innsettes.Siden [tex]\prod_{i=1}^{k=2}m[/tex][tex]\neq[/tex][tex](622(k>622))+3)[/tex] må [tex]((\prod_{i=1}^{k=2}i=m)-622(k>1)+3)>3[/tex] gitt at [tex]((\prod_{i=1}^{k=2}i=m)>(622(k>1)+3)[/tex] videre [tex](k+3)/2=\prod_{P}^{K}=p_i^{nj}|622=\prod_{P}^{K}=p_j^{n_j}[/tex] som samtidig ikke tilfredstiller faktoriseringen [tex]k\neq \prod_{P}^{K}=p_i^{nj}[/tex] som igjen gir at antallet kvadrattall omskrevet av[tex]k+3 [/tex] som samtidig er et kvadrattall med [tex]622k+3[/tex] reduseres og må tilfredstilles av ulikheten [tex]\prod_{i=1}^{k=2}i=1 <\prod_{P}^{K}=P_g=k+3 <\prod_{i=1}^{k=2}i=3[/tex] bare kan beskrives av verdien [tex]k=1[/tex] må[tex]622k+3=622^1*622^0+3=622^{1+0}+3=622+3=625[/tex] som innsatt gir [tex]\sqrt{2*311*622^{0}+3 }[/tex] =[tex]\sqrt{2*311*1+3 }[/tex] =[tex]\sqrt{625 }[/tex] =[tex]25=\prod_{i=1}^{y=2}i=5 [/tex] slik at [tex]k+3=622^0+3=1+3=4=\prod_{i=1}^{k=2}i=2 [/tex].
Dette gir liten mening for min del. Har aldri sett en slik notasjon
ABEL1
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 28/12-2020 22:48

LAMBRIDA skrev: 20/12-2021 15:13 Det ser ut som de to talla ikke er funnet, som gir den eneste løsningen med en differanse på nøyaktig 100.
hvilke k verdier fant du til å passe beskrivelsen? Jeg fant [tex](622*1+3)-(1+3)=625-4=621>100[/tex] som minste mulige differanse
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Viss vi hadde byttet ut 622 med 222, så hadde de to verdiene for k vært 193 og 253. Da måtte eg skrive at differansen var 60.
ABEL1
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 28/12-2020 22:48

ah, differansen mellom [tex]k[/tex] verdiene men [tex]k[/tex] må samtidig tilfredstille at begge uttrykkene er kvadrattall ellers må du skifte variabel i oppgaveteksten for at oppgaven skal gi mening
Svar på oppgaveteksten som den er gir [tex]k=1[/tex] er eneste løsning innsatt som gir eneste mulighet for at [tex]622k+3,k+3[/tex] er kvadrattall slik at to k verdier da ikke kan velges og følgelig en differanse ikke kan inntreffe
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

LAMBRIDA skrev: 19/12-2021 12:10 Finn alle hele tall k slik at både k+3 og 622 k +3 er et kvadrattall. Hvilke to hele tall k har en differanse på nøyaktig 100?
Delvis løsning:

Anta at $k+3=m^2$ og $622k+3=n^2$ for heltall $n,m$ (vi kan her tillate negative verdier av $n$ og $m$). Tar vi differansen får vi at $621k=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$. Observerer at $621=3^3\cdot 23$, så $3^3\cdot 23 k = (n-m)(n+m)$.

Vi kan nå faktorisere på ulike måter: La $3^3\cdot 23 k = 3^3\cdot 23\cdot (m^2-3)=pq$ der $p=n-m, q=n+m$. Det fører til at vi må løse $\frac{3^3\cdot 23\cdot (m^2-3)}{p}-p-2m=0$ for $p$ en faktor i $3^3\cdot 23 k$.

Case 1: Anta at $n-m=3^3\cdot 23$ og $n+m=k$. Da er $k+621=2n$, og $k-621 = 2m$. Nå er $k=m^2-3$ så $m^2-2m-624=0$ med løsninger $m=-24$ og $m=26$, så $k=573$ og $k=673$, med differanse $100$. (som besvarer siste del av oppgaven)

Case 2: Anta $3^3=n-m$ og $23k=n+m$. Da er $23k+3^3=2n$ og $23k-3^3=2m$. Den siste gir $23(m^2-3)-2m-27=0$ med eneste heltallsløsning $m=-2$, så $k=1$.

Case 3: Anta $1=n-m$, $621k=n+m$. Da er $621k-1=2m$ så $621(m^2-3)-2m-1=0$, men ingen heltallige løsninger.

Nå er det flere muligheter videre som man kan undersøke..
LAMBRIDA
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 250
Registrert: 16/11-2011 19:50
Sted: Hjelmeland

Eg vil i hvert fall komme med min løsning og hvorfor eg har benyttet 622 i oppgaven.

Når verdien for k er 573 får vi kvadrattallene 576 og 356409. Og når verdien for k er 673 får vi kvadrattallene 676 og 418609.
Svar