Trekantulikskapen - problem på vgs-nivå

[Mattebruker]

Det blir sagt at trekantulikskapen , i si mest elementære form , er ei umiddelbar følge av dette teoremet:

Den kortaste avstanden mellom to punkt i planet er lik lengda av linjestykket som bind saman dei to punkta.

a) Vis at trekant-ulikskapen er ei umiddelbar følge av dette teoremet.

b) La a , b og c vere sidene i ein fritt vald trekant.

Vis at [tex]\frac{a}{b + c}[/tex] + [tex]\frac{b}{a + c}[/tex] + [tex]\frac{c}{a + b}[/tex] > 2

[jos]

En likesidet trekant med side l:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} = \frac{l}{l + l} + \frac{l}{l + l} + \frac{l}{l + l} = 3\cdot \frac{1}{2} < 2$

Sikker på at det ikke skal stå "$\,<2\,$" ?

[Janhaa]

Hvis jeg ikke tar feil, Kan AM-GM brukes, slik at;

[tex]LHS \geq 3/2[/tex]

Så d stemmer vel jos

[Mattebruker]

Beklager ! Jos har sjølvsagt heilt rett .

Vis at [tex]\frac{a}{b + c}[/tex] + [tex]\frac{b}{a + c}[/tex] + [tex]\frac{c}{a + b }[/tex] < 2

Hint: Problemet kan løysast ved å bruke trekantulikheita som verktøy.

[Mattebruker]

Kanskje kan dette hintet føre deg inn på rett spor:

[tex]\frac{a}{b + c}[/tex] = [tex]\frac{2a}{2( b + c)}[/tex] = [tex]\frac{2a}{( b + c ) + ( b + c)}[/tex] < ?....................

[Mattebruker]

Endå eit hint som fører oss nærmare ei løysing:

( b + c ) > a ( jamfør trekantul. h. ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2a}{( b + c) +( b + c )}[/tex] < [tex]\frac{2a}{ ? }[/tex]