Lambert W integral

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Lambert W integral

Innlegg Janhaa » 13/04-2021 11:47

Lite aktivitet her, slenger inn et integral med Lambert Omega (W) funksjonen.
(egentlig [tex]\omega[/tex]).

Finn eksakt verdi for følgende bestemte integral (I), uten Wolfram Alpha etc.:

[tex]\large I=\int_{0}^{\infty}\frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\, dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8376
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Lambert W integral

Innlegg Nebuchadnezzar » 13/04-2021 15:42

Merker jeg er litt rusten, men i det reelle planet er jo LambertW definert som løsningen til $w e^w = z$, altså at $W(z) e^{W(z)} = z$.
Bruker substitusjonen $w = W(z)$ for da er $z = w e^w$. Implisitt derivasjon på rakkeren over gir meg

$ \hspace{1cm}
z(1 + W) \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z} = W
$

Som betyr at

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z} = \frac{W(z)}{z(1+W(z))}
\Rightarrow \frac{\mathrm{d}z}{z} = \left( 1 + \frac{1}{W(z)} \right)\,\mathrm{d}W
$

Innsatt får vi altså

$$
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}_+} \frac{W(z)}{\sqrt{z}} \frac{\mathrm{d}z}{z}
&= \int_{\mathbb{R}_+} \frac{w}{\sqrt{we^w}}\left( 1 + \frac{1}{w} \right) \,\mathrm{d}w \\
&= \int_0^\infty w^{1/2} e^{-w/2} + w^{-1/2} e^{-w/2} \mathrm{d}w \\
&= 2 \sqrt{2} \int_0^\infty u^{1/2} e^{-u} \,\mathrm{d}u + \sqrt{2} \int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u} \,\mathrm{d}u \\
&= 2 \sqrt{2} \cdot \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \\
& = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{\pi} \\
&= 2 \sqrt{2\pi}
\end{align*}
$$
Kunne ha gått til det gaussiske integralet på linje to ved å bruke $x = \sqrt{w}$, men jeg var lat og kjente igjen gammafunksjonen ^^
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5645
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: Lambert W integral

Innlegg Janhaa » 14/04-2021 10:45

Nebuchadnezzar skrev:Merker jeg er litt rusten, men i det reelle planet er jo LambertW definert som løsningen til $w e^w = z$, altså at $W(z) e^{W(z)} = z$.
Bruker substitusjonen $w = W(z)$ for da er $z = w e^w$. Implisitt derivasjon på rakkeren over gir meg

$ \hspace{1cm}
z(1 + W) \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z} = W
$

Som betyr at

$ \hspace{1cm}
\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z} = \frac{W(z)}{z(1+W(z))}
\Rightarrow \frac{\mathrm{d}z}{z} = \left( 1 + \frac{1}{W(z)} \right)\,\mathrm{d}W
$

Innsatt får vi altså

$$
\begin{align*}
\int_{\mathbb{R}_+} \frac{W(z)}{\sqrt{z}} \frac{\mathrm{d}z}{z}
&= \int_{\mathbb{R}_+} \frac{w}{\sqrt{we^w}}\left( 1 + \frac{1}{w} \right) \,\mathrm{d}w \\
&= \int_0^\infty w^{1/2} e^{-w/2} + w^{-1/2} e^{-w/2} \mathrm{d}w \\
&= 2 \sqrt{2} \int_0^\infty u^{1/2} e^{-u} \,\mathrm{d}u + \sqrt{2} \int_0^\infty u^{-1/2} e^{-u} \,\mathrm{d}u \\
&= 2 \sqrt{2} \cdot \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \\
& = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{\pi} \\
&= 2 \sqrt{2\pi}
\end{align*}
$$
Kunne ha gått til det gaussiske integralet på linje to ved å bruke $x = \sqrt{w}$, men jeg var lat og kjente igjen gammafunksjonen ^^


Synes det var pent, du er ikke helt oksidert og rusten :=)

Jeg gjorde det på tilsvarende måte, i store trekk:

[tex]W(x)=u[/tex]

[tex]x=ue^u[/tex]

[tex]dx=e^u(u+1)du[/tex]

[tex]I=\int_{0}^{\infty}u^{0,5}e^{-0,5}du+\int_{0}^{\infty}u^{-0,5}e^{-0,5}du\\ \\der\\ u/2=v\\ du=2dv[/tex]

[tex]I=2\sqrt{2}\int_{0}^{\infty}v^{0,5}e^{-v}dv+ \frac{2}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\infty}v^{-0,5}e^{-v}dv\\ \\ \\I=2\sqrt{2}\,\Gamma(1,5)+\frac{2}{\sqrt{2}}\,\Gamma(0,5)=2\sqrt{2\pi}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8376
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester