bevis oppgave 1

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

bevis oppgave 1

Innlegg ABEL1 » 17/03-2021 15:47

bevis eller motbevis oppgaven


La [tex]p[/tex] betegne generelle primtall

La [tex]10000>p_g>1000[/tex]

La [tex]p_n<1000[/tex]

Gitt at [tex]p_1\neq p_2\neq ...\neq p_n[/tex]


spør oppgaven om det for alle [tex]10000>p>1000[/tex] finnes et utvalg av [tex]p_n<1000[/tex] slik at [tex]p_1+p_2+...+p_n=p_g[/tex] oppnås

Eksempel 1 :
[tex]p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7+p_8+p_9+p_{10}=991+997+2+7+97+3+5+31+17+89=p_g=2239[/tex]
Eksempel 2:
[tex]p_1+p_2+p_3=997+7+5=p_g=1009[/tex]


en evt. oppfølger
Bestem om det eksisterer uendelig av tilfeller der tverrsummen av et gitt primtall blir et primtall. For eksempel er [tex]23=2+3=5[/tex] mens [tex]13=1+3=4[/tex]
ABEL1 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 8
Registrert: 28/12-2020 22:48

Re: bevis oppgave 1

Innlegg Gustav » 01/05-2021 00:26

-Det kan vises ved hjelp av Bertrands postulat at alle heltall $n\ge 7$ kan skrives som en sum av distinkte primtall. (*)

-Observasjon: De 10 største primtallene under 1000 er $937,941,947,953,967, 971, 977, 983,991, 997$

Betrakt først heltall $1000<n \le 2*937-1=1873$. Da er $n=937+m$ der $63<m<937$, så $n$ kan skrives som en sum av distinkte primtall $\le 937$.

Betrakt videre heltall $1873<n\le 1873+941=2814$. Da er $n=941+m$ der $m\le 1873$, som kan skrives som en sum av distinkte primtall $\le 941$.

Gjentar vi denne metoden ser vi at alle heltall større enn 1000 og mindre enn $2*937+941+947+953+967+971+977+983+991+997-1=10600$ kan skrives som en sum av distinkte primtall mindre enn eller lik 997.


Bevis av (*):
https://link.springer.com/epdf/10.1007/BF02230699?shared_access_token=dledhzuVkuAh_MSZrWtAmfe4RwlQNchNByi7wbcMAY5kZvFXuKv_50m7iazYHkNH47wO57msYKz_zg1qhL5nQBglEjbutP7RhNyPu0BRUygMrer1i0H7RyTjT_Zwdq6Zsf4Wt9k1pQKeCbf-QcHRZQeU2i1mpGnEgxQg36LmXeo%3D
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4469
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester