Dag 21

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
ABEL1

Tre oppgaver for dag 21

Oppgave 1

La [tex]x,y,z[/tex] være tre distinkte postive heltall. For hvilke verdier er likningen gyldig?
[tex]\frac{2010}{x}+\frac{2010}{y}+\frac{2010}{z}=1273[/tex]


Oppgave 2
Finn heltallet når brøken regnes ut
[tex]\frac{\left(2^2+4^2+\ldots{2010}^2+{2012}^2\right)^2-\left(1^2+3^2+\ldots+{2009}^2+{2011}^2\right)^2}{3018\ast(1^2+2^2+3^2\ldots+{2011}^2+{2012}^2)}[/tex]


Oppgave 3
Bevis at [tex]n^4+n^3+n^2+n^1+n^0[/tex] er et oddetall
Mattebruker

OPPG. 2

Verktøy: Konjugatsetninga + sum ( aritmetisk rekke )

[tex]\sum_{k = 1}^{k = 1006}[/tex]( 4k - 1 )=[tex]\frac{3 + 4023}{2}\cdot 1006[/tex]= 2025078

Svar: = [tex]\frac{2025078}{3018}[/tex] = 671
ABEL1

Mattegjest skrev:OPPG. 2

Verktøy: Konjugatsetninga + sum ( aritmetisk rekke )

[tex]\sum_{k = 1}^{k = 1006}[/tex]( 4k - 1 )=[tex]\frac{3 + 4023}{2}\cdot 1006[/tex]= 2025078

Svar: = [tex]\frac{2025078}{3018}[/tex] = 671
Det er helt riktig løst

En alternativ tilnærming til 671 når du har brukt kvadratsetningen og forkortet brøken er, gitt
[tex]\frac{a-b}{3018}[/tex]

Nå kan [tex]a-b=(2^2+4^2+...+2010^2+2012^2)-(1^2+3^2+...+2009^2+2011^2)[/tex] omskrives til [tex](1+2+3+4+5+...+2010+2011+2012)[/tex]


som igjen kan omskrives ved hjelp av symmetri til
[tex]((1006-1005)+(1006-1004)+...+(1006+1004)+(1006+1005))+(1006+1006)[/tex]


for at man skal kunne føre fram til observasjonen [tex](2011*1006)[/tex] +[tex](2*1006)[/tex]= [tex]\frac{2013*1006}{3018}=\frac{2013*1006}{1006*3}=\frac{2013}{3}=\frac{3*11*61}{3}=11*61=671[/tex]


på oppgave 3 glemte jeg forøvrig å nevne at [tex]n[/tex] er begrenset til positive heltall
Mattebruker

OPPG. 3

Uttrykket n[tex]^{4}[/tex] + n[tex]^{3}[/tex] + n[tex]^{2}[/tex] + n[tex]^{1}[/tex] + n[tex]^{0}[/tex]

kan skrivast på forma

n ( n +1 ) ( n[tex]^{2}[/tex] + 1 ) + 1

Sett n( n+1 )( n[tex]^{2}[/tex] + 1 ) = P ( produkt )


n = partal [tex]\Rightarrow[/tex] (n + 1 ) = oddetal ( og vice versa ) [tex]\Rightarrow[/tex] P = partal [tex]\Rightarrow[/tex] P +1 = oddetal ( s. s. v. )
ABEL1

en alternativ løsning kunne vært å anta at uttrykket
[tex](2k+1)^4+(2k+1)^3+(2k+1)^2+(2k+1)^1+(2k+1)^0=16k^4+40k^3+40k^2+20k+5[/tex] alltid ender på ett odde siffer for[tex]k\in \mathbb{N}[/tex]



Faktorisert videre
[tex]2(8k^4+20k^3)+2(20k^2+10k)+5=2(8k^4+20k^3+20k^2+10k)+5[/tex]. Sett [tex]m=8k^4+20k^3+20k^2+10k, m\in \mathbb{N}[/tex] som tilsvarer [tex]2m+5[/tex]



De to første leddene i faktoriseringen har alltid samme paritet for alle heltallige positive verdier av [tex]k[/tex]. Summen av to partall blir alltid et partall og summen av et partall og et oddetall er alltid et oddetall for alle positive heltallsverdier av [tex]k[/tex]. Det beviser påstanden
abelxx

(x,y)=(y,x)
(x,y,z)=(2,8,120),(2,9,45),(2,10,30),(2,12,20),(2,15,15),(2,20,12),(3,4,20),(3,5,10),(3,9,5),(3,20,4),(4,20,3)
Mattebruker

Gitt [tex]\frac{2010}{x}[/tex] + [tex]\frac{2010}{y}[/tex] + [tex]\frac{2010}{z}[/tex] = 1273

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex] + [tex]\frac{1}{y}[/tex] + [tex]\frac{1}{z}[/tex] = [tex]\frac{19}{30}[/tex] = [tex]\frac{3}{30}[/tex] + [tex]\frac{6}{30}[/tex] + [tex]\frac{10}{30}[/tex] = [tex]\frac{1}{10}[/tex] + [tex]\frac{1}{5}[/tex] + [tex]\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex] x = 10 [tex]\wedge[/tex] y = 5 [tex]\wedge[/tex] z = 3 eller x = 10 [tex]\wedge[/tex] y = 3 [tex]\wedge[/tex] z = 5 eller x = 3 [tex]\wedge[/tex] y = 10 [tex]\wedge[/tex] z = 5 o.s.v.........
ABEL1

det blir ikke riktig. oppgaven spør om å finne distinkte heltallige løsninger, ikke ordnede.
Mattebruker

Meiner at eg har funne tre distinkte løysingar( x [tex]\neq[/tex] y [tex]\neq[/tex] z ).

Kven av desse som får merkelappen x , y og z er i og for seg uinteressant.

Løysingsmengda L = { 3 , 5 , 10 }

Er dette eit betre svar , eller er det noko eg har misforstått med denne oppgåva ?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

ABEL1 skrev: Oppgave 3
Bevis at [tex]n^4+n^3+n^2+n^1+n^0[/tex] er et oddetall
Det enkleste her er vel å observere at for positive heltall $k$ og heltall $n$ gjelder $n^k\equiv n\pmod 2$, så da følger det at $n^4+n^3+n^2+n^1+n^0\equiv 4n+1\equiv 1\pmod 2$.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Mattegjest skrev:Meiner at eg har funne tre distinkte løysingar( x [tex]\neq[/tex] y [tex]\neq[/tex] z ).

Kven av desse som får merkelappen x , y og z er i og for seg uinteressant.

Løysingsmengda L = { 3 , 5 , 10 }

Er dette eit betre svar , eller er det noko eg har misforstått med denne oppgåva ?
Utfordringen med slike oppgaver er jo å finne, med bevis, alle løsninger. Her har du funnet én, så besvarelsen er i beste fall delvis riktig.
ABEL1
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 12
Registrert: 28/12-2020 22:48

SYMPLECTOMORPHISM ON R2N
Sist redigert av ABEL1 den 19/11-2023 22:11, redigert 156 ganger totalt.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvorfor gjøre ting mer komplisert enn nødvendig?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1685
Registrert: 03/10-2005 12:09

Oppgave 1

Vi har gitt den diofantiske likningen

${\textstyle (1) \;\; \frac{2010}{x} + \frac{2010}{y} + \frac{2010}{z} = 1273}$,

der $x,y,z$ er distinkte positive heltall.

I og med at $1273 = 19 \cdot 67$ og $2010 = 30 \cdot 67$, er likning (1) ekvivalent med

${\textstyle (2) \;\; \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{19}{30}}$,

i.e.

$(3) \;\; (19x - 30)yz - 30x(y + z) = 0$.

Vi kan (siden $x,y,z$ er symmetriske i likning (1)) anta at

$(4) \;\; 1< x < y < z$.

Ved å kombinere likningen (1) og antagelsen (4) får vi

${\textstyle \frac{3}{x} > \frac{19}{30}}$

${\textstyle x < \frac{90}{19}}$

$x < 5$

Altså er $x \in \{2,3,4\}$. Dermed har vi følgende tre muligheter:

$\bullet \, x=2$. Likning (4) gir

$8yz - 60(y + z) = 0$

$(2y - 15)(2z - 15) = 15^2$

${\textstyle (2y - 15,2z - 15) = (d,\frac{225}{d}), d<15, d | 3^2 \cdot 5^2}$

$(2y - 15,2z - 15) = (1,225), (3,75), (5,45), (9,25)$

$(y,z) = (8,120), (9,45), (10,30), (12,20)$


$\bullet \, x=3$. Likning (4) gir

$27yz - 90(y + z) = 0$

$(3y - 10)(3z - 10) = 10^2$

${\textstyle (3y - 10,3z - 10) = (d,\frac{100}{d}), d<10, d | 2^2 \cdot 5^2, 3 | d-2}$

$(3y-10,3z-10) = (2,50), (5,20)$

$(y,z) = (4,20), (5,10)$


$\bullet \, x=4$. Likning (4) gir

$46yz - 120(y + z) = 0$,

som er ekvivalent med

$(5) \;\; (23y - 60)(23z - 60) = 60^2$.

Nå er $y > x=4$, som medfører at

$d = 23y - 60 \geq 23 \cdot 5 - 60 = 115 - 60 = 55$.

Dette kombinert med at $d | 60^2$ ifølge likning (5), som er umulig ettersom $54<d<60$. Følgelig har likning (1) ingen løsning.


Konklusjon Likning (1) har i alt 36 løsninger i distinkte positive heltall, nemlig

$(x,y,z) = (2,8,120), (2,9,45), (2,10,30), (2,12,20), (3,4,20), (3,5,10)$,

og permutasjonene av disse 6 triplene.
Svar