Potens nøtt

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Potens nøtt

Innlegg ABEL1 » 16/12-2020 23:30

finn heltallskombinasjonen/(ene) a,b som tilfredsstiller likningen
[tex]a^bb^a=xzy4[/tex] , der x,z,y er postive heltall
ABEL1 offline

Re: Potens nøtt

Innlegg ABEL1 » 17/12-2020 02:34

kan legges til at [tex]xyz4[/tex] betegner et firesifret positivt heltall
ABEL1 offline

Re: Potens nøtt

Innlegg Mattebruker » 17/12-2020 09:02

Problemet har openbart to løysingar: a = 3 [tex]\wedge[/tex] b = 4 eller a = 4 [tex]\wedge[/tex] b = 3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] xyz4 = 5184
Mattebruker offline

Re: Potens nøtt

Innlegg ABEL1 » 17/12-2020 23:52

Mattegjest skrev:Problemet har openbart to løysingar: a = 3 [tex]\wedge[/tex] b = 4 eller a = 4 [tex]\wedge[/tex] b = 3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] xyz4 = 5184




Delvis riktig

Det finnes flere mulige kombinasjoner, utfordringen er å argumentere for hvilke som passer..
ABEL1 offline

Re: Potens nøtt

Innlegg ABEL1 » 06/03-2021 07:09

Forslag til denne potensoppgaven der xzy4 erstattes med xyz4, edit skal være [tex]xyz4_{min=1}\leq b\leq xyz4_{maks=9}[/tex]
Vedlegg
Skjermbilde.PNG
Skjermbilde.PNG (180.85 KiB) Vist 1128 ganger
ABEL1 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 8
Registrert: 28/12-2020 22:48

Re: Potens nøtt

Innlegg Solar Plexsus » 17/04-2021 14:06

Vi har gitt to heltall a,b>1 som tilfredsstiller likningen

$(1) \;\; a^b \cdot b^a = xyz4$.

Vi kan uten tap av generalitet (siden a og b er symmetrisk i likning (1)) anta at $a \leq b$.

Anta at a=b. Da har vi ifølge likning (1)

$500 < a^a < 5000$,

som har a=5 som eneste løsning. Men ettersom

$2 \cdot 5^5 = 6250$,

har likning (1) ingen løsning når a=b.

Følgelig må a<b.

Dernest antar vi at a=2. Denne a-verdien innsatt i likning (1) gir

$1000 < 2^b \cdot b^2 < 10000$,

som impliserer at 5<b<8. Ved å velge b=6 får vi at

$2^b \cdot b^2 = 2^6 \cdot 6^2 = 64 \cdot 36 = 2304$

mens b=7 gir

$2^b \cdot b^2 = 2^7 \cdot 7^2 = 128 \cdot 49 = 6272$.

Så b=6 er eneste løsning av likning (1) når a=2.

La oss til slutt anta at a>2. Dette kombinert med likning (1) gir

$100^2 = 10000 > a^b \cdot b^a > b^a \cdot b^a = (b^a)^2$,

som medfører at

$(2) \;\; b^a < 100$.

I og med at 2<a<b, må

$4^a < 100$,

som gir a=3. Med andre ord, hvis a>2, er (a,b)=(3,4) eneste løsning av likning (1).

Konklusjon: Likning (1) har fire løsninger, nemlig (a,b) = (2,6), (6,2), (3,4), (4,3).
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1680
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Potens nøtt

Innlegg ABEL1 » 25/04-2021 00:54

selvom jeg ikke var oppmerksom og overså feilene i mitt tidligere forslag, regnes ikke [tex](2,6),(6,2)[/tex] som en løsning fordi det nevnes at både [tex]x,y,z[/tex] alle må være positive heltall og [tex]xyz4[/tex] må være positive heltall i oppgaveteksten. Selvom [tex]2^66^2[/tex] gir [tex]2304[/tex] som er et positivt heltall er derimot [tex]z=0[/tex] som ikke er et positivt heltall. Hadde [tex]x,y,z[/tex] vært naturlige tall kunne en inkludert løsningen som da regner med ikkenegative heltall . Derimot ser jeg ikke hvorfor du har begrenset [tex]a,b>1[/tex] fordi 1 er fortsatt et helltall, som kan gi de andre løsningene som [tex]1^{5674}*5674^1=5674[/tex] som fortsatt tilfredsstiller at [tex](a,b)[/tex] er heltallig, [tex]x,y,z[/tex] og [tex]xyz4[/tex]
er positive med 4 som siste siffer med unntak av disse tallene på formen som inneholder 0 som ett eller flere sifre.

Alternativ fremgansmåte til [tex]4^3*3^4[/tex] med forbehold om små formuleringsfeil
Vedlegg
kk.PNG
kk.PNG (273.5 KiB) Vist 274 ganger
ABEL1 offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 8
Registrert: 28/12-2020 22:48

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester