Dag 10 Bevisoppgave med primtall og potenser

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
ABEL1

Bevis at
[tex]10^{^{10^{10^{k}}}}+10^{10^{k}}+10^{k}-1[/tex] ikke er et primtall for hvert positivt heltall [tex]k[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

ABEL1 skrev:Bevis at
[tex]10^{^{10^{10^{k}}}}+10^{10^{k}}+10^{k}-1[/tex] ikke er et primtall for hvert positivt heltall [tex]k[/tex]
Generelt er $k=2^n\cdot (2m+1)$ for ikkenegative n og m, så $10^{^{10^{10^{k}}}}+10^{10^{k}}+10^{k}-1\equiv 0 \pmod {10^{2^n}+1}$, og følgelig sammensatt, siden uttrykket åpenbart er større enn $10^{2^n}+1$.
ABEL1

Gustav skrev:
ABEL1 skrev:Bevis at
[tex]10^{^{10^{10^{k}}}}+10^{10^{k}}+10^{k}-1[/tex] ikke er et primtall for hvert positivt heltall [tex]k[/tex]
Generelt er $k=2^n\cdot (2m+1)$ for ikkenegative n og m, så $10^{^{10^{10^{k}}}}+10^{10^{k}}+10^{k}-1\equiv 0 \pmod {10^{2^n}+1}$, og følgelig sammensatt, siden uttrykket åpenbart er større enn $10^{2^n}+1$.
Pent løst
Svar