matematikk.net

Hei, så kalender døde litt ut, får prøve å holde koken litt.

Hvor mange heltallspar $(x,y)$ tilfredsstiller likninga

$$x^3-27y^3+6x^2-9y^2+5x-9y-1=0$$

Eg har prøvd med mange heltallspar uten å lykkes. Viss eg ikke overser noe her, så mener eg det ikke finnes noen.

LAMBRIDA skrev:Eg har prøvd med mange heltallspar uten å lykkes. Viss eg ikke overser noe her, så mener eg det ikke finnes noen.

Er riktig, det finnes ingen heltallspar som tilfredsstiller den. Klarer du å vise hvorfor?

Jeg kom frem til samme svar som LAMBRIDA, med følgende strategi (i spoiler):

[+] Skjult tekst

Flytt $y$-leddene over til høyre side. Se nå på venstre side og høyre side modulo $3$ hver for seg.

Forslag til løsning uten moduloregning

[tex]x^3+6x^2+5x-27y^3-9y^2-9y-1=0[/tex]
[tex]x^3+6x^2+5x-1=27y^3+9y^2+9y[/tex]
[tex]x^3+6x^2+5x-1=9y(3y^2+y+1)[/tex]
[tex]\frac{x^3+6x^2+5x-1}{y(3y^2+y+1)}=9[/tex]

For at likningen skal ha en løsning med verdi 9 må [tex]x^3+6x^2+5x-1[/tex] kunne uttrykkes på formen [tex]9n[/tex] der [tex]n[/tex] er et heltall.

[tex]x^3+6x^2+5x-1=9n[/tex] som kan faktoriseres til
[tex](\sqrt{x(x+1)(x+5)}-\sqrt{1})(\sqrt{x(x+1)(x+5)}+\sqrt{1})= 3*3n[/tex]

Siden det ikke finnes noen heltallig løsning på likningene [tex](\sqrt{x(x+1)(x+5)}-\sqrt{1})=3[/tex]
og
[tex](\sqrt{x(x+1)(x+5)}+\sqrt{1})=3[/tex]

så kan det heller ikke finnes noen kombinasjoner [tex](x,y)[/tex] som gir verdien 9 i likningen i fjerde linje