2-sirkel-problem

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

2-sirkel-problem

Innlegg Janhaa » 29/11-2020 13:31

2-sirkler.png
2-sirkler.png (48.67 KiB) Vist 3331 ganger


Regn ut den lilla kurve-lengden som genereres når den lille sirkel'n ruller
inne i den store sirkel'n. Anta liten sirkel med radius 1 og stor sirkel
med radius 3
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Aleks855 » 29/11-2020 14:21

:(
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6568
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Janhaa » 29/11-2020 14:31

Aleks855 skrev::(

vanskelig?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Aleks855 » 29/11-2020 15:43

Enten vanskelig, eller noe lett jeg overser.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6568
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Mattebruker » 30/11-2020 11:03

Lat r vere radien i den " lille " sirkelen.

Anta at den lilla kurve-lengda aukar med beløpet ds. Da har vi at

d[tex]\varphi[/tex] ( pr. def. ) = [tex]\frac{ds}{r}[/tex]

Samtidig vil sentralvinkelen [tex]\theta[/tex] auke med beløpet

d[tex]\theta[/tex] = [tex]\frac{ds}{3r}[/tex] ( ettersom R = 3 r ) [tex]\Rightarrow[/tex]

s ( lilla kurvelengde ) = 3r [tex]\int_{0}^{\frac{2\pi }{3}}[/tex] d[tex]\theta[/tex] = 2 [tex]\pi[/tex]r = Omkretsen på den " lille " sirkelen.
Mattebruker offline

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Janhaa » 30/11-2020 14:40

Mattegjest skrev:Lat r vere radien i den " lille " sirkelen.

Anta at den lilla kurve-lengda aukar med beløpet ds. Da har vi at

d[tex]\varphi[/tex] ( pr. def. ) = [tex]\frac{ds}{r}[/tex]

Samtidig vil sentralvinkelen [tex]\theta[/tex] auke med beløpet

d[tex]\theta[/tex] = [tex]\frac{ds}{3r}[/tex] ( ettersom R = 3 r ) [tex]\Rightarrow[/tex]

s ( lilla kurvelengde ) = 3r [tex]\int_{0}^{\frac{2\pi }{3}}[/tex] d[tex]\theta[/tex] = 2 [tex]\pi[/tex]r = Omkretsen på den " lille " sirkelen.

Ser greit ut, men blir ikke helt riktig!
Mener du 1 lilla-bue er [tex]2\pi[/tex], der r=1?
Er jo 3 lilla-buer. Dvs L(tot) = [tex]6\pi[/tex]
Dette er relatert til cycloid curve. Der den lille sirkel med radius r genererer en bue med L = 8r = 8 (r=1).




Men trille-underlaget er flatt i cycloid kurva, som forøvrig igjen er relatert til the brachistochrone problem (veldig interessant).
Men i vår oppgave er jo underlaget kurva (krumning av stor sirkel). Slik at L(1 lilla bue) < 8r. Eller L(1 lilla bue) < 8.
Så L(lilla tot) < 24. Og faktisk L(lilla tot) < [tex]6\pi[/tex]

se cycloid curve:

https://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Mattebruker » 30/11-2020 15:33

Vedlegget ( figuren ) til oppgåva viser at ei lilla kurve dekkjer ein tredel av den store sirkelen , dvs. sentralvinkel [tex]\theta[/tex] = [tex]\frac{1}{3}[/tex] [tex]\cdot[/tex] 2[tex]\pi[/tex] = [tex]\frac{2\pi }{3}[/tex].

Det gir L ( lilla tot ) = 3 [tex]\cdot[/tex] 2[tex]\pi[/tex] r = 6 [tex]\pi[/tex] r = 6 [tex]\pi[/tex] ( r = 1 )

Denne utrekninga har openbart ein logisk svikt !
Mattebruker offline

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Gustav » 01/12-2020 02:33

Skisse: Rullebetingelsen (den lille sirkelen ruller uten å gli på innsiden av den store, som er ekvivalent med at sirkelbuene BP=BA) gir en sammenheng mellom $\theta$ og $\phi$ som er $\phi =\frac{a}{b}\theta$. Nå kan man finne en parametrisering av den lilla kurven, $\vec{r}(\theta)=\vec{OC}+\vec{CP}$ med $\theta$ som parameter, og til slutt bruke formelen for buelengden av en parametrisk kurve. Vi ser av figuren at

$\vec{OC}=((a-b)\cos \theta, (a-b)\sin \theta)$, og $\vec{CP}=(b\cos (\phi-\theta), -b\sin (\phi-\theta))$. Da er den lilla kurvens lengde gitt av formelen

$3\int_0^{\frac{2\pi}{3}}\sqrt{\vec{r}'^2} \,d\theta$

$=12\int_0^{\frac{2\pi}{3}}\sin \frac{3\theta}{2} \,d\theta=16$

Edit:
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4468
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Janhaa » 01/12-2020 18:17

Ja, synes parameteriseringa di så riktig ut. Men fikk to L'er ulike fra 16 med det første integralet.
Uansett så fant du "riktig integral" og verdi. Veldig bra! (as usual). Ble gitt på en gammel nøtte/julekalender
Svært mange som ikke klarte den. Inkludert meg. Har løst "cycloid curven" før, så var inne på
riktig vei...

Omstendelig løsningsforslag under fra wiki:

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Arc_of_Deltoid
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Gustav » 01/12-2020 23:07

Janhaa skrev:Ja, synes parameteriseringa di så riktig ut. Men fikk to L'er ulike fra 16 med det første integralet.


Det var et minustegn som manglet i y-komponenten til $\vec{CP}$ i mitt orginale innlegg, men det rettet jeg opp. Kan ha vært derfor resultatet ble feil kanskje(?). Ellers utelot jeg alle mellomregningene i utregningen av integralet (kanskje den vanskeligste biten i denne oppgaven?).

For øvrig et artig problem som hadde passet i et introduksjonskurs i kalkulus!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4468
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: 2-sirkel-problem

Innlegg Janhaa » 02/12-2020 13:44

Gustav skrev:
Janhaa skrev:Ja, synes parameteriseringa di så riktig ut. Men fikk to L'er ulike fra 16 med det første integralet.


Det var et minustegn som manglet i y-komponenten til $\vec{CP}$ i mitt orginale innlegg, men det rettet jeg opp. Kan ha vært derfor resultatet ble feil kanskje(?). Ellers utelot jeg alle mellomregningene i utregningen av integralet (kanskje den vanskeligste biten i denne oppgaven?).

For øvrig et artig problem som hadde passet i et introduksjonskurs i kalkulus!

Ja, fin oppgave. Ganske "jobbigt" integral.
Kunne vært oppgava som skiller A fra resten. Men nowadays er der mye hjemme-eksamen.
Så lettere å jukse.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8388
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester