Endelig kropp

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Endelig kropp

Innlegg Markus » 19/06-2020 23:02

La $F$ være en endelig kropp. Vis at hvilket som helst element i $F$ kan skrives som summen av to kvadrater, altså hvis $x \in F$, så finnes det $y,z \in F$ slik at $x=y^2+z^2$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Endelig kropp

Innlegg Gustav » 22/06-2020 21:04

Markus skrev:La $F$ være en endelig kropp. Vis at hvilket som helst element i $F$ kan skrives som summen av to kvadrater, altså hvis $x \in F$, så finnes det $y,z \in F$ slik at $x=y^2+z^2$.


La $F$ ha orden $p^k$ for et primtall $p$. Den multiplikative gruppa $G=F\setminus 0$, er syklisk, så det fins et element $g\in G$ slik at $G=\{e,g,g^2,...,g^{p^k-2}\}$.

Lemma: Hvis $A$ og $B$ er delmengder av en gruppe $G$, og $|A|+|B|>|G|$, så er $G=A+B$.

Anta først at $p>2$ er odde og la $K=\{0,e,g^2,g^4,...,g^{p^k-3}\}$, som er mengden av alle kvadrater. Nå er $2|K|=p^k+1>p^k=|F|$, så av lemmaet er $F=K+K$, dvs. at for hver $x\in F$, fins $y,z$ slik at $x=y^2+z^2$.

Anta så $p=2$ og la $f:F\to F$ være Frobenius endomorfien $f(x)=x^2$, som er surjektiv for endelige $F$, så alle elementer i $F$ er kvadrater. Dvs. at for enhver $x\in F$ fins en $y$ slik at $x=y^2+0^2$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4468
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester