matematikk.net

La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$.

Markus skrev:La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$.

La $I=\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}$ og $H=\left\{x \in G : f^2(x)=x \right \}$. Da er $I\subseteq H$: La $x\in I$. Da er $f(x)=x^{-1}$, og $f^2(x)=f(x^{-1})=f(x)^{-1}=(x^{-1})^{-1}=x$, så $x\in H$.

$H$ er en undergruppe av $G$: La $x,y \in H$. Da er $xy^{-1}\in H$: $f^2(xy^{-1})=f(f(x)f(y^{-1}))=f^2(x) f^2(y^{-1})=x f^2(y)^{-1}=xy^{-1}$.

Siden $|H|\ge |I|>\frac12 |G|$, må av Lagrange $|H|=|G|$, så alle element $g \in G$ må ha egenskapen $f^2(g)=g$. Dermed må $f$ være surjektiv, og følgelig en automorfi.

Gustav skrev:

Markus skrev:La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$.

La $I=\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}$ og $H=\left\{x \in G : f^2(x)=x \right \}$. Da er $I\subseteq H$: La $x\in I$. Da er $f(x)=x^{-1}$, og $f^2(x)=f(x^{-1})=f(x)^{-1}=(x^{-1})^{-1}=x$, så $x\in H$.

$H$ er en undergruppe av $G$: La $x,y \in H$. Da er $xy^{-1}\in H$: $f^2(xy^{-1})=f(f(x)f(y^{-1}))=f^2(x) f^2(y^{-1})=x f^2(y)^{-1}=xy^{-1}$.

Siden $|H|\ge |I|>\frac12 |G|$, må av Lagrange $|H|=|G|$, så alle element $g \in G$ må ha egenskapen $f^2(g)=g$. Dermed må $f$ være surjektiv, og følgelig en automorfi.

Bra!