Atter en funksjonalligning

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ slik at for alle rasjonale $x,y$ gjelder $$ f(f(x)+g(y))=g(f(x))+y$$
[+] Skjult tekst
Ligningen er ekvivalent med $f(x+g(y))=g(x)+y$ siden $f$ er surjektiv.
Edit: Hint lagt til
zzzivert
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 27/10-2014 09:26

La $y\mapsto y-g(f(x))$, da får vi
$$f(f(x)+g(y-g(f(x))))=y,$$
som viser at $f$ er surjektiv. Derfor kan vi sette $f(x)=z$ og $y=0$, som gir
$$f(z+a)=g(z), \ \ \forall z \in \mathbb{Q}, \ a=g(0).$$
Vi kan derfor skrive om likningen
$$f(x+f(y+a))=f(x+a)+y. \ \ \ \ (*)$$
Setter vi $h(x)=f(x)-a$ blir likningen
$$h(x+h(y+a)+a)=h(x+a)+y,$$
og om vi bytter ut $x$ med $x-a$ og $y$ med $y-a$, får vi
$$h(x+h(y))=h(x)+y-a.$$
Merk at siden $f$ er surjektiv er også $h$ det, så det finnes $y_i\in\mathbb{Q}$ slik at $h(y_i)=i$.
Spesielt ser vi at $y_0=a$. Set $c_i=y_i-a$, og $c_1=c$:
$h(x+1)=h(x)+ c \Rightarrow h(x+n)=h(x+n-1)+c=...=h(x)+nc=h(x-1)+(n+1)c=...=h(x-n)+2nc$.
Derfor ser vi at $c_n=nc, \ \forall n\in\mathbb{Z}$.

Dette kan også utvides til alle rasjonale tall:
$h(x)+nc=h(x+m\cdot\frac{n}{m})=h(x+(m-1)\cdot\frac{n}{m})+c_{\frac{n}{m}}=...=h(x)+mc_{\frac{n}{m}} \Rightarrow c_{\frac{n}{m}} = \frac{n}{m}c.$

Vi har derfor at $i=h(y_i)=h(c_i+a)=h(c\cdot i+a)$. La $i=\frac{1}{c}x-\frac{a}{c}$,
$h(x)=\frac{1}{c}x-\frac{a}{c} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{c}x-\frac{a}{c}+a=\alpha x + \beta.$

Setter vi dette inn i $(*)$ får vi
$\alpha (x+ \alpha (y+a) + \beta) + \beta=\alpha (x+a) + \beta + y,$
$\alpha^2 y+\alpha^2 a + \alpha\beta=\alpha a+ y.$
Derfor er $\alpha^2=1$.

Dersom $\alpha = 1$ får vi at $\beta=0$, og vi får løsningene:
$$f(x)=x, \ \ g(x)=x+a \ \ \forall a \in\mathbb{Q}.$$

Dersom $\alpha = -1$ får vi at $\beta=2a$, og vi får løsningene:
$$f(x)=-x+2a, \ \ g(x)=-x+a \ \ \forall a \in\mathbb{Q}.$$
Sist redigert av zzzivert den 24/06-2020 12:02, redigert 2 ganger totalt.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Ser bra ut! Problemet er for øvrig fra mathlinks, og er løst på litt ulike måter her: https://artofproblemsolving.com/communi ... 12p1165468 Essensen er i hovedsak å omforme ligningen til en Cauchy ligning som har kjente løsninger for rasjonale verdier.
Svar