Integrer cosec^2(x)

[Aleks855]

Jeg har alltid vært dårlig på integrasjon, spesielt med trig-funksjoner, men denne ga mersmak. Kanskje den gjør det for andre også.

$$\int \mathrm{cosec}^2(x) \mathrm dx$$

Ganske triviell hvis du allerede vet hvilken funksjon som har denne som derivert. Hakket mer interessant hvis du ikke vet det, eller later som.

[Mattebruker]

Standardintegral: [tex]\int \frac{1}{sin^{2}x}dx[/tex] = - cotan( x ) + C

Kan utleie denne formelen ved å innføre tangens til den halve vinkelen:

t = tan([tex]\frac{x}{2}[/tex] ) [tex]\Rightarrow[/tex] dx = [tex]\frac{2dt}{1 + t^{2}}[/tex]

Integranden [tex]\frac{1}{sin^{2}x}[/tex] = [tex]\frac{(sin^{2}\frac{x}{2} + cos^{2}\frac{x}{2})^{2}}{(2 sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2})^{2}}[/tex] = [tex]\frac{(1 + t^{2})^{2}}{(2 t)^{2}}[/tex]

Den nye variablen t gir

[tex]\int \frac{1}{sin^{2}x}[/tex]dx = [tex]\int[/tex] [tex]\frac{(1 + t^{2})^{2}}{(2 t)^{2}}[/tex][tex]\cdot[/tex] [tex]\frac{2dt}{1 + t^{2}}[/tex]dt = [tex]\int \frac{1 + t^{2}}{2 t}[/tex] dt = [tex]\frac{1}{2}[/tex]( t + [tex]\frac{1}{t}[/tex] ) dt

[Mattebruker]

Framhald...……………………...………..

[tex]\int \frac{1 + t^{2}}{2 t^{2}}[/tex] dt = [tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]\int (1 + \frac{1}{t^{2}})[/tex]dt

= [tex]\frac{1}{2}[/tex]( t - [tex]\frac{1}{t}[/tex] ) = ( sett inn for t ) [tex]\frac{1}{2}[/tex]( tan[tex]\frac{x}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{tan\frac{x}{2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]( [tex]\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}[/tex] - [tex]\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}[/tex] ) =[tex]\frac{1}{2}[/tex]( [tex]\frac{sin^{2}\frac{x}{2}- cos^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}}[/tex] = - [tex]\frac{cos(x)}{sin(x)}[/tex] = -cotan( x ) + C

[Janhaa]

Jeg har alltid vært dårlig på integrasjon, spesielt med trig-funksjoner, men denne ga mersmak. Kanskje den gjør det for andre også.

$$\int \mathrm{cosec}^2(x) \mathrm dx$$

Ganske triviell hvis du allerede vet hvilken funksjon som har denne som derivert. Hakket mer interessant hvis du ikke vet det, eller later som.

eller:

[tex]I=\int \frac{1}{\sin^2(x)}dx=\int \csc^2(x)dx\\ \\I=\int\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}}dx=\int\frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\tan^2(x)}dx\\ \\u=\tan(x)=>du=\frac{1}{\cos^2(x)}dx\\ \\ I=\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+c=-\frac{1}{\tan(x)}+c=-\cot(x)+c[/tex]

[Kay]

[tex]\int\textrm{cosec}^2(x)dx=\int\textrm{co}\int\sec^2(x)dx[/tex]

Hvis vi så utnytter rotasjonsteoremet med ca. 90 grader og lar integrasjonstegnet bli kortere på det første integralet får vi ved dårlig syn-teoremet at

[tex]\int\textrm{co}\int \sec^2(x)dx=-\textrm{co}\int sec^2(x)dx=-\textrm{cotan}(x)+C \ \ \ \ _\square[/tex]