matematikk.net

La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$.

Markus skrev:La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$.

Her er jeg på gyngende grunn!
Har tatt MAT2410 på UiO (for noen år siden).
Altså hvis man innfører [tex]\,\,g(z) = f(1/z)\,\,[/tex]er z = 0 en isolert singularitet. Der z = 0
har vi funksjonen f(1/z) med orden lik 1, => f(z) er et polynom. Siden f(z) er injektiv, betyr det
at den er lineær.
Husker ikke helt men bruker Liouville's teorem på f(z) - az til å bestemme a.
Evt bestemmer a fra Laurent rekka til f(1/z).

Janhaa skrev:

Markus skrev:La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$.

Her er jeg på gyngende grunn!
Har tatt MAT2410 på UiO (for noen år siden).
Altså hvis man innfører [tex]\,\,g(z) = f(1/z)\,\,[/tex]er z = 0 en isolert singularitet. Der z = 0
har vi funksjonen f(1/z) med orden lik 1, => f(z) er et polynom. Siden f(z) er injektiv, betyr det
at den er lineær.
Husker ikke helt men bruker Liouville's teorem på f(z) - az til å bestemme a.
Evt bestemmer a fra Laurent rekka til f(1/z).

Du har en god idé, men jeg tror du blander termene litt. Vi ønsker å studere $g(z)=f(1/z)$ i $z=0$. Hvis vi klarer å vise at vi har en pol i $z=0$ er vi på god vei som jeg tipper er det du mener. Men hvorfor er det ikke et nullpunkt eller essensiell singularitet?

Hint:

[+] Skjult tekst

Liouville for å utelukke nullpunkt og Casorati-Weierstrass for å utelukke essensiell singularitet