diff lik

[Janhaa]

Løs følgende differensial-likning:

[tex]\large y=\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+...[/tex]

[Emilga]

Vi deriverer likningen:

$$ y=\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$

Og får:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$

Som gir:

$$ y - \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} $$

$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$

Som har løsningen: $y(x) = Ce^{x/2}$.

[Janhaa]

Vi deriverer likningen:
$$ y=\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$
Og får:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$
Som gir:
$$ y - \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} $$
$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$
Som har løsningen: $y(x) = Ce^{x/2}$.

bra, løste den på samme måte.

[Emilga]

Dersom vi er litt kreative med bruk av summeformelen for en geometrisk rekke får vi også:

$$ y = \left( \frac{d}{dx} + \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^3}{dx^3} + \ldots \right) y = \frac{\frac{d}{dx}}{1 - \frac{d}{dx}} y$$

Som gir:

$$ \left( 1 - \frac{d}{dx} \right) y = \frac{d}{dx}y $$

$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$

[Janhaa]

Dersom vi er litt kreative med bruk av summeformelen for en geometrisk rekke får vi også:

$$ y = \left( \frac{d}{dx} + \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^3}{dx^3} + \ldots \right) y = \frac{\frac{d}{dx}}{1 - \frac{d}{dx}} y$$

Som gir:

$$ \left( 1 - \frac{d}{dx} \right) y = \frac{d}{dx}y $$

$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$

den var smart!

[Aleks855]

Oj, det så jo nesten ut som juks og fanteri å behandle en operator på den måten.

[Gustav]

Dersom vi er litt kreative med bruk av summeformelen for en geometrisk rekke får vi også:

$$ y = \left( \frac{d}{dx} + \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^3}{dx^3} + \ldots \right) y = \frac{\frac{d}{dx}}{1 - \frac{d}{dx}} y$$

Det ser litt tvilsomt ut å bruke summeformelen på denne måten syns jeg. Hvordan argumenterer man for at $\lim_{n\to \infty} \frac{d^n}{dx^n}=0$?

[Emilga]

Ja, det er meget tvilsomt, og sannsynligvis bare flaks at man ender opp med rett svar.

Litt som $ \frac{16}{64} = \frac{1 \cancel{6}}{\cancel{6} 4} = \frac 14$.

[Aleks855]

$\frac{1.6}{6.4} = \frac{1\cancel . 6}{6 \cancel . 4} = \frac{16}{64}$

Noen ganger funker det helt naturlig, dog kanskje litt misvisende.

Jeg mener jeg har sett liknende kanselleringer med operatorer (spesifikt $\sin$ og $\log$), men jeg husker ikke hva de var sånn i hodet. Noen som kjenner til det?

[Nebuchadnezzar]

Ja, det er meget tvilsomt, og sannsynligvis bare flaks at man ender opp med rett svar.

Litt som $ \frac{16}{64} = \frac{1 \cancel{6}}{\cancel{6} 4} = \frac 14$.

$
\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } \frac{1}{x} = \frac{ \cancel{\mathrm{d}} }{ \cancel{\mathrm{d}} x } \frac{1}{x} = \frac{}{x} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}
$

Men angående konvergens av den opprinnelige likningen så har jo den første metoden akkuratt samme problemer med konvergens.
Å vise at rekken faktisk konvergerer, er langt vanskeligere enn å finne den angivelige verdien.

[Emilga]

Flammable Math har lastet opp en morsom video om derivasjonsoperatoren og geometrisk rekke: https://www.youtube.com/watch?v=sqjKFR3BECs