Tallteori

[Gustav]

Finn 6 forskjellige positive heltall $x_1,x_2,...,x_6$ slik at $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_6}=1$

[Emilga]

$$ \frac 12 + \frac 13 + \frac 17 + \frac 1{43} + \frac 1{1\,807} + \frac 1{3\,263\,442} = 1$$


Oppfølger: Finn $n$ forskjellige positive heltall $x_n$ slik at:

$$\frac 1{x_1} + \frac 1{x_2} + \ldots + \frac 1{x_n} + \frac 1{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} = 1$$

[Solar Plexsus]

[tex][/tex]Anta at $x_1,x_2, \ldots ,x_n$ er $n$ ulike naturlige tall som tilfredsstiller likningen

$(1) \;\; \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{P_n} = 1$,

der $P_n = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n$. I fortsettelsen lar vi $S_n$ være venstre side av likning (1).

Vi definerer den monotont stigende sekvensen $x_1,x_2, x_3 \ldots$ rekursivt ved $x_1=2$ og

$(2) \;\; x_{k+1} = 1 + x_1x_2 \cdots x_k = 1 + P_k$.

der $k \in \mathbb{N}$.

Vi skal bevise ved induksjon at heltallene i denne sekvensen tilfredsstiller likning (1).

Basis for induksjonen: Ved å velge $n=1$, får vi at

$S_1 = \frac{2}{x_1} = \frac{2}{2} = 1$.

Så likning (1) er tilfredsstilt når $n=1$.

Induksjonstrinnet: Anta at likning (1) er tilfredsstilt for $n=k$. Herav følger at

$S_{k+1} = \bigg ( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_k} \bigg ) + \frac{1}{x_{k+1}} + \frac{1}{P_{k+1}}$

$= \bigg (S_k - \frac{1}{P_k} \bigg ) + \frac{1}{x_{k+1}} + \frac{1}{P_k \cdot x_{k+1}}$

$= \bigg ( S_k - \frac{1}{P_k} \bigg ) + \frac{1}{P_k + 1} + \frac{1}{P_k(P_k + 1)}$ (ettersom $x_{k+1} = P_k + 1$ ifølge formel (2))

$= S_k - \frac{1}{P_k(P_k + 1)} + \frac{1}{P_k(P_k + 1)}$

$= S_k$

$=1$

ifølge induksjonsantagelsen. Dette fullfører induksjonstrinnet. q.e.d