matematikk.net

Løs integralet under:

[tex]I=\int \frac{x^2-6x+18}{x^4+324}\,dx[/tex]

Delvis løysing:

x[tex]^{4}[/tex] + 324 = (x[tex]^{2}[/tex] + 18)[tex]^{2}[/tex] - 36x[tex]^{2}[/tex] ( konjugatsetninhga ) =

(x[tex]^{2}[/tex] + 18 + 6x ) (x[tex]^{2}[/tex] + 18 - 6x )

Teljar og nemnar har ein felles faktor ( x[tex]^{2}[/tex] - 6x + 18 ).

Det betyr at integranden reduserer til

[tex]\frac{1}{x^{2} + 6x + 18}[/tex]

Vi endar opp med eit arctan-inegral som er løysbart !

Mattegjest skrev:Delvis løysing:

x[tex]^{4}[/tex] + 324 = (x[tex]^{2}[/tex] + 18)[tex]^{2}[/tex] - 36x[tex]^{2}[/tex] ( konjugatsetninhga ) =

(x[tex]^{2}[/tex] + 18 + 6x ) (x[tex]^{2}[/tex] + 18 - 6x )

Teljar og nemnar har ein felles faktor ( x[tex]^{2}[/tex] - 6x + 18 ).

Det betyr at integranden reduserer til

[tex]\frac{1}{x^{2} + 6x + 18}[/tex]

Vi endar opp med eit arctan-inegral som er løysbart !

sjølsagt helt korrekt, der;

[tex]I=\int \frac{dx}{x^2+6x+18}=\int \frac{dx}{(x+3)^2+9}=\frac{1}{3}\arctan\left ( \frac{x+3}{3} \right )+c[/tex]