Finn radien

[LAMBRIDA offline]

Eg har en kjekk oppgave som krever en del likninger for å løse. Eg har klart å løse den uten likninger. Kanskje vil noen prøve seg. Oppgavens tekst tror eg skal holde.

Tegn først en regulær femkant med sidekanter på 10 cm. Sett passeren i et hjørnepunkt i femkanten og tegn en sirkellinje med radius 10 cm, som avslutter i femkantens to hjørnepunkter. Gjør dette i alle femkantens hjørner, slik at en rosett med fem propellblader fremkommer inne i femkanten. Hva blir maks størrelse på radien til de fem like store sirklene som kan innskrives i bladene?

[Solar Plexsus]

Problemet kan illustreres med følgende figur der r er radien i den lille sirkelen med sentrum i B:

Femkantfigur.pdf

(9.12 KiB) 160 ganger

Vi ser av den rettvinklete trekanten til høyre at

${\textstyle (1) \;\; AB = 10 \cdot \cos 36^{\circ} = 10 \cdot\big( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \big) = \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) }$.

Vi ser også at

$AB = AD + DB = (10 - 2r) + r = 10 - r$,

som kombinert med (1) gir

${\textstyle r = 10 - AB = 10 - \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) = \frac{5}{2}(3 - \sqrt{5})}$.

[LAMBRIDA offline]

Viss du har fått 1,90983005625 cm på radien, så er det etter mine beregninger feil.

[LAMBRIDA offline]

Etter å ha sett nærmere på dette, så er ikke en av de små sirklene du har tegnet opp, på rett plass.

[Knuta offline]

Har ikke noe sted å dumpe tegningen, men jeg bruke den vanlige sinussetningen for å finne løsningen.
Da skulle radiusen etter min mening være 10-5/Sin(36grader) hvilket gir ca 1.49349 cm

[LAMBRIDA offline]

Etter fasiten er dette svaret også feil.
Eg skulle ha kunnet det å legge ved tegninger, det hadde vært en fordel. Eg håper det ikke er uklart hvor sirklene er innskrevet. Eg kan nevne at hver sirkel tangerer fire sirkellinjer, altså to innvendig og to utvendig og ligger i et fritt felt i et blad, uten å tangere nabosirklene. Uten ligninger brukte eg to trekanter som hjelpemiddel for løsningen. Med ligninger sies det at det kreves omfattende ligninger.

[Knuta offline]

Sorry. Jeg bommet på å lese og forstå oppgaven. Jeg fant radiusen på den lille sirkelen som tangerte alle fem sirkelene. Etter å ha finlest så ser jeg at Solar har rett.

[LAMBRIDA offline]

Det var da voldsomt til mistolking av denne oppgaven. Denne oppgave vil trolig ikke føre fram, etter mitt ønske.