Eg har en kjekk oppgave som krever en del likninger for å løse. Eg har klart å løse den uten likninger. Kanskje vil noen prøve seg. Oppgavens tekst tror eg skal holde.
Tegn først en regulær femkant med sidekanter på 10 cm. Sett passeren i et hjørnepunkt i femkanten og tegn en sirkel med radius 10 cm, som dermed skjærer gjennom to hjørnepunkter til femkanten. Tegn en sirkel på samme måten fra de resterende fire hjørnepunktene av femkanten, slik at en rosett med fem propellblader fremkommer inne i femkanten. Hva blir maks radius til en sirkel som kan innskrives i de største feltet i hvert propellblad?
Finn radien
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Posts: 1686
- Joined: 03/10-2005 12:09
Problemet kan illustreres med følgende figur der r er radien i den lille sirkelen med sentrum i B:
Vi ser av den rettvinklete trekanten til høyre at
${\textstyle (1) \;\; AB = 10 \cdot \cos 36^{\circ} = 10 \cdot\big( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \big) = \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) }$.
Vi ser også at
$AB = AD + DB = (10 - 2r) + r = 10 - r$,
som kombinert med (1) gir
${\textstyle r = 10 - AB = 10 - \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) = \frac{5}{2}(3 - \sqrt{5})}$.
Vi ser av den rettvinklete trekanten til høyre at
${\textstyle (1) \;\; AB = 10 \cdot \cos 36^{\circ} = 10 \cdot\big( \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \big) = \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) }$.
Vi ser også at
$AB = AD + DB = (10 - 2r) + r = 10 - r$,
som kombinert med (1) gir
${\textstyle r = 10 - AB = 10 - \frac{5}{2} \big( \sqrt{5} + 1 \big) = \frac{5}{2}(3 - \sqrt{5})}$.
Har ikke noe sted å dumpe tegningen, men jeg bruke den vanlige sinussetningen for å finne løsningen.
Da skulle radiusen etter min mening være 10-5/Sin(36grader) hvilket gir ca 1.49349 cm
Da skulle radiusen etter min mening være 10-5/Sin(36grader) hvilket gir ca 1.49349 cm
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
Etter fasiten er dette svaret også feil.
Eg skulle ha kunnet det å legge ved tegninger, det hadde vært en fordel. Eg håper det ikke er uklart hvor sirklene er innskrevet. Eg kan nevne at hver sirkel tangerer fire sirkellinjer, altså to innvendig og to utvendig og ligger i et fritt felt i et blad, uten å tangere nabosirklene. Uten ligninger brukte eg to trekanter som hjelpemiddel for løsningen. Med ligninger sies det at det kreves omfattende ligninger.
Eg skulle ha kunnet det å legge ved tegninger, det hadde vært en fordel. Eg håper det ikke er uklart hvor sirklene er innskrevet. Eg kan nevne at hver sirkel tangerer fire sirkellinjer, altså to innvendig og to utvendig og ligger i et fritt felt i et blad, uten å tangere nabosirklene. Uten ligninger brukte eg to trekanter som hjelpemiddel for løsningen. Med ligninger sies det at det kreves omfattende ligninger.
Sorry. Jeg bommet på å lese og forstå oppgaven. Jeg fant radiusen på den lille sirkelen som tangerte alle fem sirkelene. Etter å ha finlest så ser jeg at Solar har rett.
Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.
Utfordringer: http://projecteuler.net/index.php?section=problems
[tex]M_{2147483647}[/tex] er ikke et primtall. 295257526626031 deler det.