Side 1 av 1

Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 16/07-2019 21:37
Aleks855
Bilde

Kilde: Sett på reddit.

Re: Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 16/07-2019 22:46
josi
3 + (2^2018 -1)*7

Re: Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 17/07-2019 06:24
josi
3 + (2^2018 -1)*7 = 7*2^2018 -4

Re: Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 17/07-2019 14:36
zzzivert
La $s(n)$ være summen av elementene i rad $n$.
Vi vil vise at $s(n)=7\cdot 2^{n-1}-4$. Her er det naturlig å bruke induksjon.
Nullhypotesen stemmer da $s(1)=3$.
Anta at påstanden stemmer opp til $n=N$, og vi skal vise at det fører til at
påstanden også stemmer for $n=N+1$.

La rad $N$ være:
$x_0 \ \ \ \ x_1 \ \ \ \ x_2 \ ... \ x_{N-1} \ \ \ \ x_N$.
Der $x_0=2N-1$ og $x_N=2N$. Da er rad $N+1$:
$2N+1 \ \ \ \ (x_0+x_1) \ \ \ \ (x_1+x_2) \ ... \ (x_{N-1}+x_N) \ \ \ \ 2N+2$.
Nå får vi
$s(N+1)=2N+1 +(x_0+x_1) +(x_1+x_2)+... + (x_{N-1}+x_N) +2N+2 \\
= 4N+3+2s(N) - (2N-1)-2N\\
=2(7\cdot 2^{N-1}-4)+4\\
=7\cdot 2^{N}-4$.

Så påstanden stemmer for $n=N+1$, og induskjonsbeviset er ferdig.
Til slutt har vi at $s(2019)=7\cdot 2^{2018}-4$.

Re: Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 18/07-2019 14:51
Aleks855
Selvsagt rett! Fint eksempel på induksjon.

Re: Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 18/07-2019 18:08
jos1
Fant formelen 7*2^n - 4 ved å studere tallrekken. Denne ble bekreftet ved å løse differenlikningen xn+1 -2xn = 4, med x0 =3.

Re: Pascal, Schmascal

InnleggSkrevet: 18/07-2019 20:47
Aleks855
jos1 skrev:Fant formelen 7*2^n - 4 ved å studere tallrekken. Denne ble bekreftet ved å løse differenlikningen xn+1 -2xn = 4, med x0 =3.


Ja, det likner metoden jeg brukte. Karakteristisk likning med nullpunkter $x \in \{1, 3\}$ om jeg husker rett.