Side 1 av 1

2nd-order nonlinear ODE

InnleggSkrevet: 02/07-2019 15:27
Janhaa
Solve:

[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]

Re: 2nd-order nonlinear ODE

InnleggSkrevet: 03/07-2019 19:39
DennisChristensen
Janhaa skrev:Solve:

[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]


Likningen kan skrives som $\left(y/y'\right)' + \sqrt{1 + \left(y/y'\right)^2} = 0.$ Om vi lar $z=y/y'$ får vi en separabel difflikning i $z$ med løsningen $z = -\sinh(x + c_1)$, der $c_1$ er en integrasjonskonstant. Vår nye difflikning $y/y' = -\sinh(x + c_1)$ er nok en gang separabel, og vi ender med at $$\log|y| = \log\left(\sinh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) - \log\left(\cosh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) + c_2,$$ der $c_2$ er en integrasjonskonstant.

Re: 2nd-order nonlinear ODE

InnleggSkrevet: 04/07-2019 08:23
Janhaa
DennisChristensen skrev:
Janhaa skrev:Solve:

[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]


Likningen kan skrives som $\left(y/y'\right)' + \sqrt{1 + \left(y/y'\right)^2} = 0.$ Om vi lar $z=y/y'$ får vi en separabel difflikning i $z$ med løsningen $z = -\sinh(x + c_1)$, der $c_1$ er en integrasjonskonstant. Vår nye difflikning $y/y' = -\sinh(x + c_1)$ er nok en gang separabel, og vi ender med at $$\log|y| = \log\left(\sinh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) - \log\left(\cosh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) + c_2,$$ der $c_2$ er en integrasjonskonstant.

bra Dennis:

mitt forslag:


[tex]\frac{(y')^2-yy"}{(y')^2}=-\sqrt{\left(\frac{y}{y'}\right)^2+1}\\

\\

\int\frac{d(\frac{y}{y'})}{\sqrt{\left ( \frac{y}{y'} \right )^2+1}}=-\int dx\\

\\

arcsinh(\frac{y}{y'})=a-x\\

\\

\frac{y'}{y}=cosech(x-a)\\
\\
\ln(y)=\ln(\coth(\frac{a-x}{2}))+\ln(b)[/tex]

[tex]y=b\cdot\coth(\frac{a-x}{2})+b[/tex]

[tex]a, b \in Z[/tex]

Re: 2nd-order nonlinear ODE

InnleggSkrevet: 04/07-2019 15:04
josi
Hvorfor "+b" i uttrykket y=b⋅coth(a−x2)+b ?

Re: 2nd-order nonlinear ODE

InnleggSkrevet: 04/07-2019 15:10
josi
Det forsvant en brøkstrek da jeg kopierte; Det skal stå: y = b *coth(a-x)/2) +b