Gitt at $x^2=y+a$ og $y^2=x+a$.
Finn alle heltall $a$ slik at $x,y$ er heltall.
Tallteori (VGS-nivå)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Anta først $x=y$, da får vi $x^2=x+a$, så $a=x^2-x$.
Anta så $x\neq y$, og observer at $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(y+a)-(x+a)=y-x$, som vil si at $x+y=-1$, og $a=x^2-y=x^2-(-1-x)=x^2+x+1$.
Dermed er $a=n^2-n$ og $a=n^2+n+1$ for $n \in \mathbb{Z}$.
Anta så $x\neq y$, og observer at $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(y+a)-(x+a)=y-x$, som vil si at $x+y=-1$, og $a=x^2-y=x^2-(-1-x)=x^2+x+1$.
Dermed er $a=n^2-n$ og $a=n^2+n+1$ for $n \in \mathbb{Z}$.
Selvsagt helt riktigMarkus skrev:Anta først $x=y$, da får vi $x^2=x+a$, så $a=x^2-x$.
Anta så $x\neq y$, og observer at $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(y+a)-(x+a)=y-x$, som vil si at $x+y=-1$, og $a=x^2-y=x^2-(-1-x)=x^2+x+1$.
Dermed er $a=n^2-n$ og $a=n^2+n+1$ for $n \in \mathbb{Z}$.
