Grei algebra

La $G$ være en gruppe med minst to elementer og med ingen ikke-trivielle ekte undergrupper. Vis at $G$ er endelig og av primtalls orden.
Matteprat
https://www.matematikk.net/matteprat/
https://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=19&t=48724
Markus skrev:La $G$ være en gruppe med minst to elementer og med ingen ikke-trivielle ekte undergrupper. Vis at $G$ er endelig og av primtalls orden.
Gustav skrev:
G er endelig: Anta at $G$ er uendelig og la $a\neq e$ (der $e$ er identiteten). Siden $G$ ikke har noen ekte, ikketrivielle undergrupper vil $a$ generere hele $G$, ergo er $G$ syklisk og dermed isomorf med den additive gruppa $(\mathbb{Z},+)$, men denne har mange ekte, ikketrivielle undergrupper $n\mathbb{Z}$, altså en motsigelse. Dermed må $G$ være endelig av orden $m$.
G har primtalls orden $m$: Anta at $m$ er sammensatt og la $G=<a>$ for et element $a\neq e$. Dersom $m=pq$ der $p$ og $q$ er heltatt større enn $1$, vil $H=<a^p>$ være en ekte, ikketriviell undergruppe, altså en motsigelse. Ergo må $m$ være prim.