Greit polynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Gitt kriteriene får vi for eksempel at $P(c) = P(P(b)) = P(P(P(a))) = a$. Det lukter at dette skal lede et sted, men jeg kommer ikke videre.
En annen sti:
$$P(a) = b \wedge P(b) = c \Rightarrow P(a) - P(b) = b-c \Rightarrow \color{blue}{b-c = k(a-b)} \ \text{for en} \ k \in \mathbb Z$$
$$P(b) = c \wedge P(c) = a \Rightarrow P(b) - P(c) = c-a \Rightarrow \color{blue}{c-a = m(b-c)} \ \text{for en} \ m \in \mathbb Z$$
$$P(c) = a \wedge P(a) = b \Rightarrow P(c) - P(a) = a-b \Rightarrow \color{blue}{a-b = n(c-a)} \ \text{for en} \ n \in \mathbb Z$$
Ganger vi sammen disse resultatene får vi at $(a-b)(b-c)(c-a) = kmn(a-b)(b-c)(c-a)$.
Dersom $kmn = 1$ må $k=m=n=1$, som betyr at $a=b=c$ som er en selvmotsigelse.
Dersom $kmn \neq 1$ bryter siste likning sammen trivielt, og er også en selvmotsigelse.
Dette ble litt mer rotete enn jeg forestilte meg, men holder det?
En annen sti:
$$P(a) = b \wedge P(b) = c \Rightarrow P(a) - P(b) = b-c \Rightarrow \color{blue}{b-c = k(a-b)} \ \text{for en} \ k \in \mathbb Z$$
$$P(b) = c \wedge P(c) = a \Rightarrow P(b) - P(c) = c-a \Rightarrow \color{blue}{c-a = m(b-c)} \ \text{for en} \ m \in \mathbb Z$$
$$P(c) = a \wedge P(a) = b \Rightarrow P(c) - P(a) = a-b \Rightarrow \color{blue}{a-b = n(c-a)} \ \text{for en} \ n \in \mathbb Z$$
Ganger vi sammen disse resultatene får vi at $(a-b)(b-c)(c-a) = kmn(a-b)(b-c)(c-a)$.
Dersom $kmn = 1$ må $k=m=n=1$, som betyr at $a=b=c$ som er en selvmotsigelse.
Dersom $kmn \neq 1$ bryter siste likning sammen trivielt, og er også en selvmotsigelse.
Dette ble litt mer rotete enn jeg forestilte meg, men holder det?
Ser bra ut det der, også ganske bra ført! Selv om det kanskje er trivielt, så ville jeg kanskje tatt med at hvis $P$ er et polynom med heltallskoeffisienter og $a,b$ heltall, så $(a-b) \mid (P(a)-P(b))$, da jeg regner med at du har brukt det. Det er riktignok ikke riktig at $k=m=n=1$, vi kan også ha $k,m=\pm 1$, $n=\mp 1$. Jeg tror du allikevel skal klare å få den samme selvmotsigelsen.
En alternativ måte å avslutte beviset på er at siden $(a-b) \mid (b-c)$, $(b-c) \mid (c-a)$ og $(c-a) \mid (a-b)$, så vil $(a-b) \mid (b-c) \mid (c-a) \mid (a-b)$. Da må $(b-c)=\pm (a-b)$ og $(c-a)=\pm (a-b)$, som betyr at $a=b$ som gir selvmotsigelsen.
En alternativ måte å avslutte beviset på er at siden $(a-b) \mid (b-c)$, $(b-c) \mid (c-a)$ og $(c-a) \mid (a-b)$, så vil $(a-b) \mid (b-c) \mid (c-a) \mid (a-b)$. Da må $(b-c)=\pm (a-b)$ og $(c-a)=\pm (a-b)$, som betyr at $a=b$ som gir selvmotsigelsen.