Et lenende tårn

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Et lenende tårn

Innlegg Markus » 15/01-2019 23:25

Så denne her om dagen på et matematikkarrangement, og synes det var en jo en ganske finurlig nøtt med et veldig kult svar!

Plasser $N$ identiske stive rektangulære blokker i en stabel på kanten av et bord. Hvor lang kan avstanden fra den ytterste klossens ende til bordkanten maksimalt være før stabelen raser, og hvilken "stablings"-algoritme gir deg dette resultatet?

Legger ved et bilde med noen få blokker for å illusterere hva jeg mener med denne stabelen:
Bilde
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Et lenende tårn

Innlegg Gustav » 16/01-2019 04:09

La hver blokk ha lengde $1$ og uniform masse $1$, og la $a_i$ betegne det relative overhenget (i forhold til blokka under) til blokk nr $i$ regnet fra toppen av stabelen. For at den øverste blokka ikke skal begynne å rotere må massesenteret maks ligge på enden av blokka under, så $a_1=\frac12$.

For nest øverste blokk må overhenget $a_2$ oppfylle ligningen $a_2-\frac12+a_2=0$ (dreiemomentet til blokk 1 og 2 må tilsammen være $0$ for at stabelen av de to øverste blokkene ikke skal rotere og falle sammen), altså vil $a_2=\frac14$.

For n-te blokk ovenifra må overhenget tilfredsstille $a_n-\frac12+(n-1)a_n=0$ så $a_n=\frac{1}{2n}$.

Den maksimale avstanden fra bordkanten til enden av den øverste blokka vil derfor være $\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n}$, som er ubegrenset hvis vi lar $N$ gå mot uendelig.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4269
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Et lenende tårn

Innlegg Markus » 16/01-2019 15:37

Selvfølgelig korrekt. Litt kult at man teoretisk sett kan bygge "uendelig" langt ut 8-)
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Et lenende tårn

Innlegg Gustav » 16/01-2019 15:54

Ser ut som det er gjort litt forskning på optimale stabler der det er tillatt å bygge med flere blokker i bredden:

Sjekk ut denne artikkelen den som er interessert: https://arxiv.org/pdf/0707.0093.pdf

En oppfølger kunne kanskje vært: Finn og bevis den optimale stabelen med 3 blokker.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4269
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 11 gjester